欧拉函数的几个性质

Posted 2021-02-03 henry-1202

Note

这篇文章涉及几个欧拉函数的性质

暂时没有证明，大概寒假的时候会补一下证明

定义

(phi(n))表示在1~n中与n互质的数

计算式

[ large{ 若n根据算术基本定理分解为n=p_1^{c_1}p_2^{c_2}...p_m^{c_m}则phi(n)=nprod_{i=1}^{m}left(1-frac{1}{p} ight)也可以变式为phi(n)=nprod_{i=1}^mleft(frac{p-1}{p} ight)本质是一样的 } ]

性质1

[ large{ phi是积性函数，但不是完全积性函数当n,m互质时，满足:\phi(nm)=phi(n)*phi(m)那么显然，当n根据算术基本定理分解为n=p_1^{c_1}p_2^{c_2}...p_m^{c_m}时\phi(n)=prod_{i=1}^m{phi(p_i^{c_i})} } ]

性质2

[ large{ n中与n互质的数的和为：\phi(n)*n/2 } ]

性质3

[ large{ 若p|n且p^2|n，则phi(n)=phi(frac{n}{p})*p若p|n且p^2 ot|spacespace n,则phi(n)=phi(frac{n}{p})*(p-1) } ]

这个性质广泛用于递推求欧拉函数

性质4

[ large sum_{d|n}phi(d)=n ]