欧拉函数各种性质

Posted 2020-10-30 Mychael

欧拉函数

欧拉函数，符号记作\(\varphi(n)\)，其值为小于\(n\)且与\(n\)互质的数的个数

性质

①

对于质数\(n\)
\[\varphi(n) = n - 1\]

②

对于\(n = p^k\)
\[\varphi(n) = (p - 1) * p^{k - 1}\]

③

【积性函数】
对于\(gcd(n,m) = 1\)
\[\varphi(n*m) = \varphi(n)*\varphi(m)\]

④

【计算式】
对于\(n = \prod p_i^{k_i}\)
\[\varphi(n) = n * \prod (1 - \frac{1}{p_i})\]

⑤

【欧拉定理】
对于互质的\(a,m\)
\[a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod {m}\]

⑥

小于\(n\)且与\(n\)互质的数的和：
\[S = n * \frac{\varphi(n)}{2}\]

⑦

对于质数\(p\)
若\(n mod p = 0\)
\[\varphi(n * p) = \varphi(n) * p\]
若\(n mod p \neq 0\)
\[\varphi(n * p) = \varphi(n) * (p - 1)\]

⑧

\[\sum\limits_{d|n} \varphi(d) = n\]
\[\varphi(n) = \sum\limits_{d|n} \mu(d) * \frac{n}{d}\]