左偏树总结

Posted 2020-10-28 cjoierljl

 

 

既然新学了左偏树，那我就来写一些学了左偏树之后的总结吧。

 

Part 1 左偏树是干嘛的

 

首先，它支持的是两个堆的合并过程。那么最容易想到的是把一个堆的元素全部弹出，一个一个加入另一个堆中，就合并了。显然这样合并的复杂度是O(n)的，再加上程序的其他部分，很慢。我们就考虑让复杂度减小到O(logn)，很恐怖，没错，这就是左偏树存在的意义。

 

那为什么要叫左偏树，顾名思义，往左偏的树，我们首先命名一个dis[]，ls[]，rs[]，表示一个节点到他下方最近的空节点的距离，左孩子，右孩子。显然，为了维护左偏那么dis[ls[i]]一定要维护大于dis[ys[i]]，如果小于了，就换。并且为了保证这个点的dis是离空节点最近的，显然是维护dis[i]=dis[rs[i]]+1。至于为什么一定要左偏，是因为我们之后的操作是往右合并，所以操作次数会减少。(具体看后文把）

 

Part 2 实现过程(以大根堆为例，小根堆类推)

 

·合并过程

 

我们来模拟一下，如果两个堆A，B要合并，那么新的堆顶元素一定是两个堆堆顶元素的最大值。这是必然的，那么我们在比较完之后，把两个堆顶的最大值放在A堆的堆顶，再把小的那一个放在B堆的堆顶，此时A堆的堆顶已经对后面的合并没有影响了，就可以继续合并更小的值了，我们考虑把B堆往A堆的右孩子决定( 需要注意：我们在整个左偏树合并过程中，都直接以堆顶的编号作为堆的序号，所以到了右孩子，就相当于到了以右孩子为堆顶的一个堆)，这样不就是一个递归嘛，不停地比较，然后合并新堆和右孩子。

 

    int Merge(rg int A,rg int B)//合并A堆和B堆  
    {  
        if(!A||!B)return A+B;//如果有一个堆空了(堆顶元素编号为0),就返回另一个堆顶  
        if(key[A]<key[B])swap(A,B);//维护大根堆  
        rs[A]=Merge(rs[A],B);//新的A的右孩子是A的右孩子和新B合并的结果  
        if(dis[ls[A]]<dis[rs[A]])swap(ls[A],rs[A]);//维护左偏  
        dis[A]=dis[rs[A]]+1;//维护当前节点的dis值  
        return A;//返回堆顶元素  
    }  

 

 

 

 

·删除过程

 

很容易想到，删除堆顶元素，不就是把堆顶元素的左孩子和右孩子合并嘛

    int Delete(rg int A)//删除A堆的堆顶元素  
    {  
        return Merge(ls[A],rs[A]);//合并A的左孩子和右孩子，并返回堆顶  
    }  

 

Part 3 几道左偏树的题

T1 洛谷P1552 [APIO2012]派遣

我写的题解emmm：[洛谷P1552] [APIO2012]派遣

T2 洛谷P3377 【模板】左偏树（可并堆）

T3 洛谷P1456 Monkey King

//这两道实在不行可以去看看洛谷的题解

T4 洛谷P3261 [JLOI2015]城池攻占

我写的题解emmm：[洛谷P3261] [JLOI2015]城池攻占

 

最后我再推荐一位大佬的博客，我就是和他学的左偏树：租酥雨的左偏树