计几算法补充

Posted 2021-02-02 xzyxzy

计几算法补充

Tags：高级算法

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Pick定理

内容

定点都是整点的多边形，内部整点数为(innod)，边界整点数(ednod),(S=innod+frac{ednod}{2}-1)

证明

把每个整点近似地看成一个圆，那么多边形内部的整点所代表的圆全部被算入
多边形边界上的圆被算了一半
顶点上被算了(sum 半圆-外角)，外角和360度，于是(-1)

应用

POJ2954 求格点三角形内部点数

圆的反演变换

内容

反演中心为(O)，反演半径为(R)，若经过(O)的直线经过(P,P')，且(OP*OP'=R^2)，则称(P)、(P')关于(O)互为反演

性质

• 1.一根过(O)的直线的反形是本身
• 2.一根不过(O)的直线的反形是一个过(O)的圆
• 3.一个过(O)的圆的反形是一根不过(O)的直线
• 4.一个不过(O)的圆的反形是一个和该圆关于(O)位似的圆

下面这张图可以粗略解释一下有这么个东西：两种不同颜色的三角形相似，可以证出(CD)关于(E)的反形为圆

• 5.反演不改变相切关系

应用

1、求平面内与原点四点共圆的三元组个数

Problem Provider：自为风月马前卒
对所有点反演后求三点共线的三元组即可

2、求经过P点并与两给定相离圆外切的圆

参考博客：ACdreamer反演教程、水郁图文、cdsszjj题解、教你尺规画图
Problem Provider：HDU4773 Problem of Apollonius
先将两相离圆关于P反演，然后做反形的公切线，反演回来成为公切圆

TBC...