概率dp 高斯消元bzoj3270: 博物馆

Posted 2021-02-01 antiquality

一类成环概率dp的操作模式

Description

有一天Petya和他的朋友Vasya在进行他们众多旅行中的一次旅行，他们决定去参观一座城堡博物馆。这座博物馆有着特别的样式。它包含由m条走廊连接的n间房间，并且满足可以从任何一间房间到任何一间别的房间。

两个人在博物馆里逛了一会儿后两人决定分头行动，去看各自感兴趣的艺术品。他们约定在下午六点到一间房间会合。然而他们忘记了一件重要的事：他们并没有选好在哪儿碰面。等时间到六点，他们开始在博物馆里到处乱跑来找到对方（他们没法给对方打电话因为电话漫游费是很贵的）

不过，尽管他们到处乱跑，但他们还没有看完足够的艺术品，因此他们每个人采取如下的行动方法：每一分钟做决定往哪里走，有Pi 的概率在这分钟内不去其他地方（即呆在房间不动），有1-Pi 的概率他会在相邻的房间中等可能的选择一间并沿着走廊过去。这里的i指的是当期所在房间的序号。在古代建造是一件花费非常大的事，因此每条走廊会连接两个不同的房间，并且任意两个房间至多被一条走廊连接。

两个男孩同时行动。由于走廊很暗，两人不可能在走廊碰面，不过他们可以从走廊的两个方向通行。（此外，两个男孩可以同时地穿过同一条走廊却不会相遇）两个男孩按照上述方法行动直到他们碰面为止。更进一步地说，当两个人在某个时刻选择前往同一间房间，那么他们就会在那个房间相遇。

两个男孩现在分别处在a，b两个房间，求两人在每间房间相遇的概率。

Input

第一行包含四个整数，n表示房间的个数;m表示走廊的数目;a,b (1 ≤ a, b ≤ n),表示两个男孩的初始位置。

之后m行每行包含两个整数，表示走廊所连接的两个房间。

之后n行每行一个至多精确到小数点后四位的实数 表示待在每间房间的概率。

题目保证每个房间都可以由其他任何房间通过走廊走到。

Output

输出一行包含n个由空格分隔的数字，注意最后一个数字后也有空格，第i个数字代表两个人在第i间房间碰面的概率（输出保留6位小数）

注意最后一个数字后面也有一个空格

Sample Input

2 1 1 2
1 2
0.5
0.5

Sample Output

0.500000 0.500000

HINT

对于100%的数据有 n <= 20，n-1 <= m <= n(n-1)/2

---

 

题目分析

记$f[i][j]$为两人分别在$x$和$y$的概率，

 

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 const int maxn = 503;
 3 
 4 int n,m,tot,S,T,deg[maxn],id[maxn][maxn];
 5 double out[maxn],p[maxn],ans[maxn],mp[maxn][maxn];
 6 int G[maxn][maxn];
 7 
 8 void Gauss(int n)
 9 {
10     double bse;
13     for (int i=1, r; i<=n; i++)
14     {
15         r = i;
16         for (int j=i+1; j<=n; j++)
17             if (fabs(mp[j][i]) > fabs(mp[r][i])) r = j;
18         if (r!=i) std::swap(mp[i], mp[r]);
19         bse = mp[i][i];
20         for (int j=i; j<=n+1; j++) mp[i][j] /= bse;
21         for (int j=i+1; j<=n; j++)
22         {
23             bse = mp[j][i];
24             for (int k=i; k<=n+1; k++)
25                 mp[j][k] -= bse*mp[i][k];
26         }
27     }
28     ans[n] = mp[n][n+1];
29     for (int i=n-1; i; i--)
30     {
31         ans[i] = mp[i][n+1];
32         for (int j=i+1; j<=n; j++) ans[i] -= ans[j]*mp[i][j];
33     }
34 }
35 int main()
36 {
37     scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&S,&T);
38     tot = n*n;
39     for (int i=1,x,y; i<=m; i++)
40     {
41         scanf("%d%d",&x,&y), ++deg[x], ++deg[y];
42         G[x][++G[x][0]] = y, G[y][++G[y][0]] = x;
43     }
44     for (int i=1; i<=n; i++)
45     {
46         scanf("%lf",&p[i]);
47         G[i][++G[i][0]] = i;
48         out[i] = (1.0-p[i])/(1.0*deg[i]);
49     }
50     for (int i=1, t=0; i<=n; i++)
51         for (int j=1; j<=n; j++)
52             id[i][j] = ++t;
53     mp[id[S][T]][tot+1] = -1;
54     for (int i=1; i<=n; i++)
55         for (int j=1; j<=n; j++)
56         {
57             --mp[id[i][j]][id[i][j]];
58             for (int l=1; l<=G[i][0]; l++)
59                 for (int r=1; r<=G[j][0]; r++)
60                 {
61                     int u = G[i][l], v = G[j][r];
62                     if (u==v) continue;
63                     if (u==i&&v==j) mp[id[i][j]][id[i][j]] += p[i]*p[j];
64                     if (u!=i&&v!=j) mp[id[i][j]][id[u][v]] += out[u]*out[v];
65                     if (u==i&&v!=j) mp[id[i][j]][id[u][v]] += p[u]*out[v];
66                     if (u!=i&&v==j) mp[id[i][j]][id[u][v]] += out[u]*p[v];
67                 }
68         }
69     Gauss(tot);
70     for (int i=1; i<=n; i++) printf("%.6lf ",ans[id[i][i]]);
71     return 0;
72 }