BZOJ3640JC的小苹果 概率DP+高斯消元

Posted 2020-09-23 CQzhangyu

【BZOJ3640】JC的小苹果

Description

   让我们继续JC和DZY的故事。

    “你是我的小丫小苹果，怎么爱你都不嫌多！”

    “点亮我生命的火，火火火火火！”

    话说JC历经艰辛来到了城市B，但是由于他的疏忽DZY偷走了他的小苹果！没有小苹果怎么听歌！他发现邪恶的DZY把他的小苹果藏在了一个迷宫里。JC在经历了之前的战斗后他还剩下hp点血。开始JC在1号点，他的小苹果在N号点。DZY在一些点里放了怪兽。当JC每次遇到位置在i的怪兽时他会损失Ai点血。当JC的血小于等于0时他就会被自动弹出迷宫并且再也无法进入。

    但是JC迷路了，他每次只能从当前所在点出发等概率的选择一条道路走。所有道路都是双向的，一共有m条，怪兽无法被杀死。现在JC想知道他找到他的小苹果的概率。

    P.S.大家都知道这个系列是提高组模拟赛，所以这是一道送分题balabala

Input

第一行三个整数表示n，m，hp。接下来一行整数，第i个表示jc到第i个点要损失的血量。保证第1个和n个数为0。接下来m行每行两个整数a，b表示ab间有一条无向边。

Output

    仅一行，表示JC找到他的小苹果的期望概率，保留八位小数。

Sample Input

3 3 2
0 1 0
1 2
1 3
2 3

Sample Output

0.87500000

HINT

对于100%的数据 2<=n<=150，hp<=10000，m<=5000，保证图联通。

题解：如果没有Ai=0，直接DP，如果hp很小，直接高斯消元，但是都有，所以用DP+高斯消元。

发现，方程组中只有Ai=0的点有系数，Ai！=0的都可以直接拿过来变成常数项，所以每次我们的方程组只有一列是变化的，所以我们将方程组表示成Ax=b，x=A^-1b。x和b都是列向量。所以我们只需要预处理出A的逆，然后每次O（n²）乘一下就行了。

矩阵求逆的方法：先将(A|I)拼一起，然后通过行变换将左边的A消成I，右边剩下的就是A^-1。

 

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
int n,m,hp;
int dam[160],pa[5010],pb[5010],d[160];
double f[160][10000],B[160],ans;
struct M
{
	double v[160][160];
	M (){memset(v,0,sizeof(v));}
	double* operator [](int x) {return v[x];}
	void I()
	{
		for(int i=1;i<=n;i++)	for(int j=1;j<=n;j++)	v[i][j]=(i==j)?1:0;
	}
	M getinv()
	{
		int i,j,k;
		M re;
		double t;
		re.I();
		for(i=1;i<=n;i++)
		{
			for(j=i;j<=n;j++)	if(fabs(v[j][i])>fabs(v[i][i]))	for(k=1;k<=n;k++)
				swap(v[i][k],v[j][k]),swap(re[i][k],re[j][k]);
			t=v[i][i];
			for(j=1;j<=n;j++)	v[i][j]/=t,re[i][j]/=t;
			for(j=1;j<=n;j++)	if(i!=j)
			{
				t=v[j][i];
				for(k=1;k<=n;k++)	v[j][k]-=t*v[i][k],re[j][k]-=t*re[i][k];
			}
		}
		return re;
	}
	void operator * (int x)
	{
		for(int i=1;i<=n;i++)	for(int j=1;j<=n;j++)	f[i][x]+=v[i][j]*B[j];
	}
};
M A,A1;
int rd()
{
	int ret=0,f=1;	char gc=getchar();
	while(gc<‘0‘||gc>‘9‘)	{if(gc==‘-‘)f=-f;	gc=getchar();}
	while(gc>=‘0‘&&gc<=‘9‘)	ret=ret*10+gc-‘0‘,gc=getchar();
	return ret*f;
}
int main()
{
	n=rd(),m=rd(),hp=rd();
	int i,j;
	for(i=1;i<=n;i++)	dam[i]=rd();
	for(i=1;i<=m;i++)
	{
		pa[i]=rd(),pb[i]=rd();
		d[pa[i]]++;
		if(pa[i]!=pb[i])	d[pb[i]]++;
	}
	for(i=1;i<=m;i++)
	{
		if(!dam[pb[i]])	A[pb[i]][pa[i]]-=1.0/d[pa[i]];
		if(pa[i]==pb[i])	continue;
		if(!dam[pa[i]])	A[pa[i]][pb[i]]-=1.0/d[pb[i]];
	}
	for(i=1;i<=n;i++)	A[i][n]=0;
	for(i=1;i<=n;i++)	A[i][i]++;
	A1=A.getinv();
	for(j=hp;j;j--)
	{
		for(i=1;i<=n;i++)	B[i]=0;
		if(j==hp)	B[1]=1;
		else	for(i=1;i<=m;i++)
		{
			if(dam[pb[i]]&&dam[pb[i]]+j<=hp&&pa[i]!=n)	B[pb[i]]+=f[pa[i]][j+dam[pb[i]]]*1.0/d[pa[i]];
			if(pa[i]==pb[i])	continue;
			if(dam[pa[i]]&&dam[pa[i]]+j<=hp&&pb[i]!=n)	B[pa[i]]+=f[pb[i]][j+dam[pa[i]]]*1.0/d[pb[i]];
		}
		A1*j,ans+=f[n][j];
	}
	printf("%.8lf",ans);
	return 0;
}