LeetCode #001# Two Sum详解（js描述）

Posted 2021-02-01 xkxf

索引

1. 思路1：暴力搜索
2. 思路2：聪明一点的搜索
3. 思路3：利用HashMap巧解

问题描述：https://leetcode.com/problems/two-sum/

思路1：暴力搜索

一个很自然的想法就是暴力搜索了。根据排列组合原理，列举Cn取2对数字，逐对进行判断，效率是O(n^2-1/2n)，代码如下：

var twoSum = function(nums, target) {
    for (let i = 0; i != nums.length; ++i) {
        for (let j = i + 1; j != nums.length; ++j) {
            if (nums[i] + nums[j] == target) {
                return [i, j];
            }
        }
    }
};

思路2：聪明一点的搜索

最开始感觉就这么简单一个问题，哪还有别的什么方法啊。。但是仔细想想输入规模一变大的话n^2也太恐怖了，应该有更快一点的方法。另外一个比较自然的思路就是：先将数组排序，这个nlgn内可以完成，然后弄两个下标分别指向头和尾，边做判断边根据判断结果缩小搜索范围，这样一般在扫描完整个数组之前（n以内）就可以找到相应元素了，不过需要额外的空间来保存元素和原下标间的映射关系。最终效率是O(nlgn)尾巴有点大，先放代码：

// O(nlgn)
var twoSum2 = function(nums, target) {
    let copy = nums.map((x, i) => {
        return {
            val: x,
            index: i,
        };
    }); // 保存元素的下标值
    copy.sort((a, b) => a.val - b.val); // 按照元素值从小到大排序

    let i = 0, j = copy.length - 1;
    let sum;
    while ((sum = copy[i].val + copy[j].val) != target) {
        sum > target ? j-- : i++;
    }

    i = copy[i].index;
    j = copy[j].index;
    return i < j ? [i, j] : [j, i];
};

正确性我也是纠结了一会儿，毕竟数学很菜。。。所以给出一个乱七八糟。。又不严谨的。。。“证明”↓

我们证明这个循环不变式：按照从有序数组的外围朝向内侧的搜索顺序，如果(sum = copy[i].val + copy[j].val) != target那么要找的元素一定在i+1..j或者i..j-1范围中，至于变化i还是j取决于copy[i].val + copy[j].val相对target是大了还是小了：大了一定减j，小了一定加i。

初始化：单看i=0以及j=copy.length - 1;的话是显然成立的，不过这属于特殊情况，属于没路走了，只能i+1或者j-1。选取一个稍普通些的情形i+1..j-1（i=0且j=copy.length - 1），这个时候i和j都是可进可退的，那么当sum > target的时候为什么一定是j-1-1而不是i+1-1呢（这两种操作都会让sum更接近target）？一个直觉且没毛病的理由是i..j-1在上个（或者上上个）迭代已经判断过了，所以此路明显不通，所以就只能是j-1-1了。然而我们需要考察更普通的情形，连续n次迭代sum都小于target，于是i先加了n，之后m次迭代sum都大于target，j才随后减去m，那么在j逐步-1的过程中i可不可以尝试回退一步（-1，回退n步和1步情形都是一样的，假设回退一步方便讨论）呢？因为这么做确实也让sum变小了，并且容易知道i+n-1..j-m这对数并没有判断过（i累计加了n的时候j仍可能还在原地踏步）。不妨假设[i+n-1, j-m]就是原问题的解，即i前进到i+n又回退到i+n-1并且copy[i+n-1].val + copy[j-m].val == target成立。仔细考察“有序数组”这一前置条件，会发现倘若i和j是原问题的解，也就是copy[i].val + copy[j].val == target成立，那么copy[i].val + copy[任何大于j的下标值].val总是大于target，这是因为copy[任何大于j的下标值].val > copy[j].val，言下之意，考虑最终的情形，必定i和j是有一方会先到达要找的元素之一且在原地等待，不存在什么走过头再回头的情形，于是就推翻假设了。。。此时已经考虑了所有情况，因此循环不变式成立。当sum < target时类似。

保持：假设对于某个i..j（i>0且j<copy.length - 1）循环不变式成立，也就是要找的元素一定在i+1..j或者i..j-1中。那么再进行一次迭代，也就是在i+1..j或者i..j-1中搜索，这又回到了初始化的情形，所以循环不变式仍然成立。

终止：因为题目确保了一定有那么一对元素存在，迭代终止的时候就是sun == target找到答案的时候。

PS. 我扯了一堆网上看了一下发现好像。。。似乎有一个什么数学定理。。。。。。。。。。。。。。。。。

思路3：利用HashMap巧解

知道这个思路后感觉很easy。。然而一开始并不容易想到（仅限我。。哈哈。。。。），事实上在给出target和一个元素后，另外一个元素就已经随之确定了。因此可以构建一个map，用另外一个元素的值作为key（或者自己本身的值），而value部分可以用来存当前元素的下标，这样一来，只需要至多扫描一遍数组（或者一遍以内），就可以得到答案了。效率是O(n)，典型的用空间换时间。js代码如下：

// O(n)
var twoSum3 = function(nums, target) {
    let obj = {};
    nums.forEach((x, i) => obj[target - x] = i);
    for (let i = 0; i != nums.length; ++i) {
        let j = obj[nums[i]];
        if (j != undefined && j != i) {
            return i < j ? [i, j] : [j, i];
        }
    }
};

// O(n),渐进性没有改善,不过去掉了一些尾巴
// Runtime: 52 ms, faster than 100.00% of javascript online submissions for Two Sum.
var twoSum4 = function(nums, target) {
    let obj = {}, j; // 用obj作为map
    for (let i = 0; i != nums.length; ++i) {
        if ((j = obj[nums[i]]) != undefined) {
            return [j, i];
        }
        obj[target - nums[i]] = i;
    }
};

// 这个和上一个是一样的，纯粹为了测试一下用obj作map快还是new Map()快。结果是慢了一点。
var twoSum5 = function(nums, target) {
    let map = new Map();
    let obj = {}, j;
    for (let i = 0; i != nums.length; ++i) {
        if ((j = map.get(nums[i])) != undefined) {
            return [j, i];
        }
        map.set(target - nums[i], i);
    }
};