LeetCode 第 371 题 （Sum of Two Integers）

Posted 2020-08-02 liyuanbhu

LeetCode 第 371 题 （Sum of Two Integers）

Calculate the sum of two integers a and b, but you are not allowed to use the operator + and -.
Example:
Given a = 1 and b = 2, return 3.

不用加减法计算两个整数的和。这道题其实是考察一些基本的布尔代数知识。我们知道，二进制表示时：
0 + 0 = 00
1 + 0 = 01
0 + 1 = 01
1 + 1 = 10

所以，两个二进制整数 $a$ 和 $b$，如果相加的过程中如果没有进位，那么 $a + b = a \otimes b$，这里 $\otimes$ 表示异或。那么 $a + b$ 的进位为多少呢，只有 $1 + 1$ 时才会出现进位。所以 $a + b$ 的进位可以表示为 $2 \times (a\ \&\ b)$，这里 & 表示两个数字的按位与运算。之所以要乘以 $2$，是因为要向上进一位。

所以有如下关系：
如果 $a,b$ 时任意的二进制整数。
设

$$x_0 = a \otimes b\\ c_0 = 2 \times (a\ \&\ b)$$
那么有
$$a + b = x_0 + c_0$$
并且$c_0$ 的最低位为 $0$。
这个过程再进行一遍：
$$x_1 = x_0 \otimes c_0\\ c_1 = 2 \times (x_0\ \&\ c_0)$$
那么有：
$$a + b = x_0 + c_0 = x_1 + c_1$$
并且 $c_1$ 的最后两位都是 $0$。 这样进行 $N$ 此后，$c_N$ 的后 $N+1$ 就都是 $0$ 了。
那么，只要 $a,b$ 是有限位的整数，那么必然可以经过有限次（M次）的这种变换，使得 $c_M$ 为 $0$。这时：
$$a + b= c_M + x_M = x_M$$

这个过程很容易写成递归程序：

int getSum(int a, int b)
{
    if(a == 0) return b;

    int x = a ^ b;
    int c = (a & b) << 1;
    return getSum(c, x);
}

当然，也可以用也可以不用递归：

int getSum2(int a, int b)
{
    while(a)
    {
        int x = a ^ b;
        a = (a & b) << 1;
        b = x;
    }
    return b;
}