如何给小学生讲清楚ECC椭圆曲线加密

Posted 2021-01-30 crazylights

对于RSA这套公私钥加密的思路，我以为我挺明白的，运用的娴熟自如。

当然现在RSA用的不多，而是基于ECC曲线来做签名验签，最大名鼎鼎的莫过于比特币。

可是前两天和别人讲代码，被问了ECC为什么可以用来做验签，发现自己讲不清楚。

所以做了点功课，来把这个问题讲清楚。

首先我们跳过ECC曲线是个啥这个话题，这部分我觉得对理解这个逻辑，帮助并不大，黑盒掉就好了。

因为我们是程序员，有类型这样的表述神器，非常清晰，你一点都不用害怕。

只说原理，非伪代码，比如关于曲线阶数不说不影响理解原理，我就不说了。

ECC曲线加密核心原理

下面我们讲的，都在同一条曲线上，这条曲线上的点支持一种乘法运算

设 Q 为曲线上一点

若点R = Q * Q，也可以记为 R=2.Q

若点R =Q*Q*Q，可以记为 R =3.Q

若点R =Q*Q*……*Q ,一共n个Q，则可以记为R=n.Q

然后原理来了

给定n 和 Q 求 R 很容易，给定R 和 Q，则非常难求出n

就这一条原理，然后其他的都是证明出来的。

公钥和私钥

先复习一下原理

设Q为曲线上一点，k为一个整数

令点K = k.Q，若给定 k 和 Q，很容易求出 K

若给定 K 和 Q ，很难求出k

我换个说法给你看

设G为曲线上一点，k为私钥

令公钥K=k.G, 若给定私钥和G，很容易求出公钥

若给定公钥和G，很难求出私钥

是不是有点意思了，从这里我们也可以看出，ECC的私钥就是一个整数，一个很大很大的整数，Int64 别提了，常用的ECC算法，私钥是一个256bit的整数

而ECC的公钥是一个点，虽然平常看到他们不是字符串就是bytearray，但是私钥是整数，公钥是一个点（二维坐标）

ECC曲线有很多应用，最常用的是加密解密和签名验证

加密原理

加密步骤，先设 K=k.G，（公钥=约定点G阶乘私钥）。

1. 欲传递的数据m，先把他编码为一个坐标点M（怎么编码是你的事，比如一个字符串，你把他先bytes，然后变成大整数，当坐标的x坐标，纯属举例）

2. 整个随机整数r

3. 计算点 C1 = M+r.K看到这里肯定有点晕，这里出现了点的加法，还有r.K，r.K 就是 r 个 K相乘，K是公钥。就是 点C1 等于 r个公钥相乘加上坐标点M

4. 计算点C2 = r.G G是曲线上面约定好的一点，就是k=k.G（公钥=约定点G阶乘私钥）那个G，r是前面的随机整数

加密完成，可以看出加密需要公钥，加密将坐标点M 加密为 C1 C2 两个坐标点

加密者只需发送C1 C2 给对方

解密步骤

1. 由C1=M+r.K 可知 M =C1-r.K

2. 由K=k.G（公钥=私钥）将K代入上式可得 M=C1-r.k.G

3. 由C2=r.G 带入上式，可得 M=C1-k.(r.G)=C1-k.C2

4. 据上面推导的结论 M=C1-k.C2,则解密者根据收到的C1，C2，用自己的私钥，可以计算出加密坐标点M

签名验证原理

签名步骤，先设 K=k.G，（公钥=约定点G阶乘私钥），设欲签名数据为m，签名用私钥

1. 对欲签名数据进行处理 e=hash(m)，e是一个巨大整数，Hash 算法不用解释了吧，m是必选，ECSDA实现中还把一个坐标放进去一起算hash，为了便于理解原理，我就不代入那些了，只说e

2. 整个随机整数r

3. 计算s=r-e*k，这个式子纯粹是整数运算，结果s当然也是整数 ，s=随机数减去 hash*私钥，就这个意思。

签名完成

通常说签名（signdata）就是指s和r两个整数。

签名者发送 s、r、公钥K，欲签名数据m，则任何人可以验签。

验签步骤，验签用公钥

1. 对欲签名数据进行处理 e=hash(m)

2. 计算点V1=r.G（就是算公钥那个点G 阶乘随机数 r）

3. 计算点V2=s.G+e.K ( 点G阶乘签名数据s 加上 公钥阶乘 )

4. 若V1=V2 则验签成功，接下来证明

5. 若数据都是对的，则s =r-e*k成立

6. 此时设s=r-e*k，V2=s.G+e.K 将s展开 得 V2=(r-e*k).G+e.K

7. V2 =r.G-e.k.G+e.K

8. 因为K=k.G，代入上式，可得V2 = r.G – e.(k.G)+e.K = r.G -e.K+e.K

9. 上式抵消e.K之后得V2=r.G，可知假设s=r-e*k时，V2=r.G =V1

10. 反之，当V1=V2时，s=r-e*k成立，数据正确

没有什么太深得东西，只是把这个原理表述出来，加深自己的理解，对得起区块链从业者这个身份

最后，2018结束，大家新年快乐