椭圆曲线密码学ECC

Posted 2021-01-20 pupilheart

??椭圆曲线密码学（Elliptic curve cryptography），简称ECC，是一种建立公开密钥加密的算法，也就是非对称加密。类似的还有RSA，ElGamal算法等。ECC被公认为在给定密钥长度下最安全的加密算法。比特币中的公私钥生成以及签名算法ECDSA都是基于ECC的。下面简单介绍ECC以及ECDSA的原理。

 

从公钥加密说起

??公钥加密，也称非对称加密。可以说它现在是现代网络安全或者网络信任链的基础。公钥加密最大的特征就是通信双方各有一对公私钥，这一对公私钥有着千丝万缕的数学关系。每个人保存自己的私钥，公开自己的公钥。这样做的好处是不怕通信线路被窃听，即使被攻击者拿到公钥也没有关系。公私钥的基本使用场景主要有两种：

假设通信双方叫Alice（公钥A、私钥a）和Bob（公钥B、私钥b）。

• 公钥加密，私钥解密

1. Alice写了一封信，她不想让别人知道。于是它用Bob的公钥B对信的明文做了加密，密文为m。之后发送给了Bob。
2. Bob收到密文m，用自己的私钥b对密文解密，正确的读出了信的内容。

??整个过程中，即使窃听者拿到密文m、两个人的公钥A、B都没有什么用，无法解密出任何东西。事实上，只有拥有私钥b的人才能解密出这份信息。换个角度来说，每个人都可以拥有Bob的公钥B，也就是说，每个人都可以创造一份只有Bob可以使用或者说只对Bob来说有效的信息。

• 私钥加密，公钥解密

1. Alice写了一份公开声明文件，她用自己的私钥a对文件加了密，生成加密文件m，公布在自己的网站中。
2. Bob下载了这份声明文件，并用Alice的公钥A进行解密，正确的读出文件内容。

??这个过程听起来有点奇怪，Alice既然公布的是声明文件，是想让别人阅读的，而且每个人都可以拿到Alice的公钥A，那么为什么还要加密呢？确实，每个人都可以对文件解密，可是这里的目的主要不是解密，而是对这份文件的来源验证，证明它肯定是由Alice发出的声明。即使文件被恶意篡改，那么此时再拿公钥A解密，就是无效的，由此可证明信息被改动过了，并不是Alice的原来文件。用这种方式使用公私钥可以证明信息的来源并且有不可否定的特性。（即Alice不能否认此信息不是由她发出的，因为只有私钥a可以产生加密文件m）

??以上是使用公钥加密算法的基础场景，但事实上用上述方法进行通信还远远不够，例如需要提高加密速度，需要先对文件进行hash；再如不能抵御中间人攻击，（即获取的公钥不一定是正确的）需要引入证书，不过这些不在本文讨论范围之内。下面我们来看ECC是如何产生密钥对的。

椭圆曲线

这一节让我们来了解一些数学知识。

一般来说，椭圆曲线可以用下列方程式表示，a,b,c,d为系数（a≠0，没有重根）

例如，当a=1,b=0,c=-2,d=4时，所得到的椭圆曲线为：

椭圆曲线下图所示。

 

 

$E_1:y^2=x^3-2x+4$曲线

其实椭圆曲线并不是我们高中学习的椭圆形状，其名字的由来是因为椭圆曲线的描述方程，类似于计算一个椭圆周长的方程。这里用于加密的椭圆曲线的定义是一个特殊情况，完整定义参考这里

有了图像，我们接下来就可以搞一搞事情了?

椭圆曲线的加法

在这里首先要介绍一下群的概念。群是一种代数结构，由一个集合以及一个二元运算所组成。已知集合和运算(G,*)如果是群则必须满足如下要求

• 封闭性：?a,b∈G，a * b ∈ G

• 结合性：?a,b,c∈G ，有 (a * b) * c = a * (b * c)

• 单位元：ョe∈G， ?a ∈G，有e * a = a * e = a

• 逆元：?a ∈G ，ョb∈G 使得 a * b = b * a = e

另外，有一种特殊的群叫阿贝尔群，它除了上面的性质还满足交换律公理 a * b = b * a

举个例子，在整数范围内的加法运算就是一个阿贝尔群（Z，+）。

• 封闭性：a和b是整数，那么a+b肯定是整数。

• 结合性：（a + b) + c = a + (b + c)。

• 单位元：0即为单位元，因为对于所有整数a， a + 0 = 0 + a = a。

• 逆元： a的逆元为-a，因为a + (-a) = 0,即单位元。

所以（Z,+)是阿贝尔群。

现在，我们来定义椭圆曲线上的加法。

现在有椭圆曲线，曲线上的点P和Q。过P和Q做一条直线，交椭圆曲线为点R‘,再过R‘点做垂直于X轴的直线，交曲线另一点为R，定义P + Q = R。如下图所示。

 

 

若P=Q,则为过P点的切线交于椭圆曲线为R‘。如下图所示。

 

 

??这样，称R = 2P。类似的，3P = P + P + P = P + 2P = P + R。也就是说，当给定点P时，“已知数x求点xG的运算”不难，因为有加法的性质，运算起来可以比较快。但反过来，“已知点xG求x的问题”则非常困难，因为只能遍历每一个x做运算。这就是椭圆曲线密码中所利用的“椭圆曲线上的离散对数问题”。

要想使这个运算满足阿贝尔群的性质，我们还要引入一个无穷远点O，可以把它理解为平行直线的交点（如果感觉难以理解，请参考无穷远点的定义），我们把这个O点作为单位元。（方便理解，你可以当做所有平行于y轴的直线交于O点）。

有了上述无穷远点的定义，不难证明椭圆曲线上的加法为一个阿贝尔群。

椭圆曲线上的离散对数问题

??椭圆曲线密码利用了上述“运算”中的“椭圆曲线上的离散对数问题”的复杂度，就像RSA利用了“大数质因数分解”的复杂度，以及EIGamal密码的Diffie-Hellman密钥交换利用了“有限域上的离散对数问题”的复杂度一样。

椭圆曲线上的离散对数问题：

• 已知
  • 椭圆曲线E
  • 椭圆曲线E上一点G（基点）
  • 椭圆曲线E上的一点xG（x倍的G）
• 求解
  • x

这个问题的难度保证了椭圆曲线密码的安全性。

有限域上的椭圆曲线

??到这里，椭圆曲线的定义及运算都是实数范围内的，其实椭圆曲线密码所使用的运算，是在有限域上。有限域是指对于某个给定的质数p，由0,1,2,.....,p-1共p个元素所组成的整数集合中定义的加减乘除运算。此运算使用的是模运算。

我们来看一个具体的例子：

当这个椭圆曲线位于实数域R上时，图像如下图所示，是一条光滑的曲线。

同样是这条曲线，当位于有限域上时，写作：

即左侧与右侧的结果除以23的余数相等，也叫左侧与右侧的数值模23同余。于是上述图像并不是一条曲线，而是一些离散的点。图像如下图所示。

 

 

如果我们以椭圆曲线上的点P =（3，10）为基点，按照椭圆曲线“加法”运算的规则计算2P，3P，4P...结果如下图所示。

 

 

我们可以看到，所产生的点可以说是无规律可言，例如点P = （3，10），点23P = （9，7）。在这里求离散对数问题就相当于已知点（3，10）和点（9，7），求23。在这个例子中p=23，问题还不难解，如果当p数值非常大时，要求出这个解是十分困难的。

产生公钥和私钥

在椭圆曲线加密中，给定椭圆曲线E,基点G和点xG，我们称xG为公钥，x值为私钥。由椭圆曲线性质可知，已知私钥求公钥很简单，而已知公钥求私钥几乎是不可能的事情。

椭圆曲线密码的应用

有了密钥对，就可以做很多公钥加密的事情了，比如最基本的加密通信，验证数字签名等。这里仅介绍数字签名，其他的原理本质上也都是一样的。

数字签名：椭圆曲线DSA（ECDSA）

依然假设Alice要发布公开文件，并对此文件进行数字签名。Bob需要验证该签名。（以下涉及计算的部分都是求模运算）

生成数字签名

• Alice根据随机数 和基点 求出点 = (x,y)
• Alice根据随机数 、消息 的散列值 、私钥 计算
• 最后，Alice将消息 、点 和 发送给Bob，其中点 和 就是数字签名

验证数字签名

• Bob接收到消息 、点 和
• Bob根据消息 求出散列值
• 最后，Bob进行以下计算：

• 最后把R和rG进行比较，如果相等，则验证签名正确，否则说明是错误的数字签名。

验证原理

这里关键的一点是Alice签名的时候引入了随机数 ，而利用公钥A=aG的特性，在算式中只有A可以消除随机变量r的因素。引入随机数也提高了安全性，即便对于同一条消息，只要改变随机数R，所得到的签名也会随之改变。

至此，我们对于椭圆加密ECC的原理以及ECDSA数字签名有了大致的了解。