最远 Manhattan 距离

Posted 2021-01-30 orangee

最远 Manhattan 距离

处理问题

K维空间下的n个点，求两点最远曼哈顿距离

思路

以二维为例介绍算法思想，即可类推到k维。对于P，Q两点，曼哈顿距离|P_x-Q_x|+|P_y-Q_y|可看作(±P_x±P_y)-(±Q_x±Q_y)，不难发现P_x应该与Q_x的符号相同，P_y与Q_y符号相同，因此共四种情况。这样写的好处是，每个点可以表示成相同的形式（±P_x±P_y）。而曼哈顿距离一定是四种情况中值最大的那种，所以要求两点最远曼哈顿距离，可以枚举所有的取符号情况，对于每种情况，维护出上述表示下n个点的最大值与最小值，求出差值。则最远的曼哈顿距离一定是所有情况中的最大差值。

代码描述

ll max_Manhattan(ll p[][10],int n,int k)
{
    ll ans=0;
    for (int s=0;s<(1<<k);++s)
    {
        ll mx=-1e18,mn=1e18;
        for (int i=0;i<n;++i)
        {
            ll tmp=0;
            for (int j=0;j<k;++j)
                tmp+=(s&(1<<j))?p[i][j]:-p[i][j];
            mx=max(mx,tmp),mn=min(mn,tmp);
        }
        ans=max(ans,mx-mn);
    }
    return ans;
}

应用

一般题目可能不会太直白的要求最远曼哈顿距离，以今年多校的一道题为例，可以HDU上找到J.CSGO.

题目大意：

给n个主武器，m个副武器。每个武器有1个s属性和k个x属性。要求选取主副两把武器，使得最大。

思路：

现在再来看这道题，可以发现其形式很像求K维下最远曼哈顿距离。前面多的两项可以看作第k+1维，为了保证它们的形式是两项相加，将其中一个武器集合的s属性都置为负即可。然后就做一次k维下n个点和m个点之间取两点的最远曼哈顿距离。要注意，选取的点必须分属不同集合。因此我的处理方式是，每种取符号情况下，分别维护两个武器集合的最值，求差值。（也有更巧妙的处理方法，如处理两种武器的s值，最后再修正答案，这里不赘述，可以看一下该题相关博客题解）

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define dd(x) cout<<#x<<" = "<<x<<" "
#define de(x) cout<<#x<<" = "<<x<<"
"
#define sz(x) int(x.size())
#define All(x) x.begin(),x.end()
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef pair<int,int> P;
typedef priority_queue<int> BQ;
typedef priority_queue<int,vector<int>,greater<int> > SQ;
const int maxn=1e5+10,mod=1e9+7,INF=0x3f3f3f3f;
int a[maxn][10],b[maxn][10];
void cal(int p[][10],int n,int k,int sta,ll& mx,ll& mn)
{
    mx=-1e18,mn=1e18;
    for (int i=0;i<n;++i)
    {
        ll tmp=0;
        for (int j=0;j<k;++j)
        {
            if (sta&(1<<j))
                tmp+=p[i][j];
            else
                tmp-=p[i][j];
        }
        mx=max(mx,tmp),mn=min(mn,tmp);
    }
}
ll max_Manhattan(int n,int m,int k)
{
    ll ans=0,amax,amin,bmax,bmin;
    for (int sta=0;sta<(1<<k);++sta)
    {
        cal(a,n,k,sta,amax,amin);
        cal(b,m,k,sta,bmax,bmin);
        ans=max(ans,max(amax-bmin,bmax-amin));
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int  T;
    cin>>T;
    while (T--)
    {
        int n,m,k;
        scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
        for (int i=0;i<n;++i)
            for (int j=0;j<=k;++j)
                scanf("%d",&a[i][j]);
        for (int i=0;i<m;++i)
        {
            for (int j=0;j<=k;++j)
                scanf("%d",&b[i][j]);
            b[i][0]*=-1;
        }
        printf("%lld
",max_Manhattan(n,m,k+1));
    }
    return 0;
}