HAOI2012高速公路bzoj2752 （线段树，数学）

Posted 2021-01-29 yimmortal

题目大意：
给定一个长度为n的链，一共m次操作
对于每次操作
(C l r x)表示将第l个点到第r个点之间的所有道路的权值增加v

(Q l r)在第l个到第r个点里等概率随机取出两个不同的点a和b，那么从a行驶到b将期望花费多少费用呢

QwQ我们可以考虑将期望分为分子和分母两部分

首先考虑分母，分母就是在(r-l+1)个点中选两个点的方案数，也就是({r-l+1}choose 2)

而分子就是总权值了

对于一个在([l,r])的点(i)来说
它会被计算((i-l+1） imes (r-i+1))次 （就跟分别在左右两个区间枚举端点是一样的）

那么我们求的东西也就变成了

(sum_{i=l}^{r} w[i] imes(i-l+1) imes(r-i+1))

我们考虑将它展开：
(sum_{i=l}^{r} w[i] imes((r+l) imes i-i imes i +(r-l+1-r imes l)))

再进一步来一波，对于区间([l,r])我们就是求的是：
(（r+l） imes sum_{i=l}^{r}w[i] imes i + (r-l+1-r imes l) imes sum_{i=l}^{r}w[i] + sum_{i=l}^{r}w[i]*i^2)

而对于更新，我们也不难找出一些规律了咯

所以对于一个区间，我们只需要维护一个(w[i],w[i]*i,w[i]*i^2，i^2,i)的sigma值就能处理更新和合并了！

void up(int root)
{
    f[root].si=f[2*root].si+f[2*root+1].si;
    f[root].sii=f[2*root].sii+f[2*root+1].sii;
    f[root].scostii=f[2*root].scostii+f[2*root+1].scostii;
    f[root].scosti=f[2*root].scosti+f[2*root+1].scosti;
    f[root].scost=f[2*root].scost+f[2*root+1].scost;
}

void pushdown(int root,int l,int r)
{
   ll mid = (l+r) >> 1;
   if (add[root])
   {
      add[2*root]+=add[root];
      add[2*root+1]+=add[root];
      f[2*root].scost+=add[root]*(mid-l+1);
      f[2*root+1].scost+=add[root]*(r-mid);
      f[2*root].scosti+=add[root]*f[2*root].si;
      f[2*root+1].scosti+=add[root]*f[2*root+1].si;
      f[2*root].scostii+=add[root]*f[2*root].sii;
      f[2*root+1].scostii+=add[root]*f[2*root+1].sii;
      add[root]=0;
   }
}

emmmmm
query的时候也记得( imes)的时候要乘询问的总区间，而不是当然区间！

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<queue>
#include<map>
#include<vector>
#define ll long long
using namespace std;

inline int read()
{
  int x=0,f=1;char ch=getchar();
  while (!isdigit(ch)) {if (ch==‘-‘) f=-1;ch=getchar();}
  while (isdigit(ch)) {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-‘0‘;ch=getchar();}
  return x*f;
}

const int maxn = 1e5+1e2;

struct Node{
   ll scost,scosti,scostii,si,sii;
   ll ans;
};

Node f[4*maxn];
ll add[4*maxn];
int n,m;

ll count(int xx,int yy)
{
    ll x=xx,y=yy;
    return (y-x+1)*(y-x+2)/2;
}

void up(int root)
{
    f[root].si=f[2*root].si+f[2*root+1].si;
    f[root].sii=f[2*root].sii+f[2*root+1].sii;
    f[root].scostii=f[2*root].scostii+f[2*root+1].scostii;
    f[root].scosti=f[2*root].scosti+f[2*root+1].scosti;
    f[root].scost=f[2*root].scost+f[2*root+1].scost;
}

void pushdown(int root,int l,int r)
{
   ll mid = (l+r) >> 1;
   if (add[root])
   {
      add[2*root]+=add[root];
      add[2*root+1]+=add[root];
      f[2*root].scost+=add[root]*(mid-l+1);
      f[2*root+1].scost+=add[root]*(r-mid);
      f[2*root].scosti+=add[root]*f[2*root].si;
      f[2*root+1].scosti+=add[root]*f[2*root+1].si;
      f[2*root].scostii+=add[root]*f[2*root].sii;
      f[2*root+1].scostii+=add[root]*f[2*root+1].sii;
      add[root]=0;
   }
}

void build(int root,int l,int r)
{
    if (l==r)
    {
        f[root].si=(long long)1LL*l;
        f[root].sii=(long long) 1LL*l*l;
        return;
    }
    int mid = (l+r) >> 1;
    build(2*root,l,mid);
    build(2*root+1,mid+1,r);
    up(root);
}

void update(int root,int l,int r,int x,int y,ll p)
{
    if (x<=l && r<=y)
    {
        ll len=r-l+1;
        f[root].scost+=1LL*p*len;
        f[root].scosti+=1LL*p*f[root].si;
        f[root].scostii+=1LL*p*f[root].sii;
        add[root]+=p;
        return;
    }
    pushdown(root,l,r);
    int mid = (l+r) >> 1;
    if (x<=mid) update(2*root,l,mid,x,y,p);
    if (y>mid) update(2*root+1,mid+1,r,x,y,p);
    up(root);
}

ll query(int root,int l,int r,int x,int y)
{
    if (x<=l && r<=y)
    {
        ll xx = x,yy=y;
        return (long long)1LL*(xx+yy)*f[root].scosti+(long long)1LL*(yy-xx+1-xx*yy)*f[root].scost-f[root].scostii;
    }
    pushdown(root,l,r);
    int mid = (l+r) >> 1;
    ll ans=0;
    if (x<=mid) ans+=query(2*root,l,mid,x,y);
    if (y>mid) ans+=query(2*root+1,mid+1,r,x,y);
    return ans;
}

int main()
{
  scanf("%d%d",&n,&m);
  n--;
  build(1,1,n); 
  for (int i=1;i<=m;i++)
  {
     char s[10];
     scanf("%s",s+1);
     if (s[1]==‘C‘)
     {
        int x,y;
        ll z;
        scanf("%d%d%lld",&x,&y,&z);
        y--;
        update(1,1,n,x,y,z);
       }
     if (s[1]==‘Q‘)
     {
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        y--;
        ll tmp=query(1,1,n,x,y);
        ll tmp1=count(x,y);
        printf("%lld/%lld
",tmp/__gcd(tmp1,tmp),tmp1/__gcd(tmp1,tmp));
     }
  }
  return 0;
}