区间DP理解LuoGu P1063/LNSYOJ#139 能量项链/LNSYOJ#157矩阵

Posted 2021-01-26 qin-wei-kai

这又是本蒟蒻一A的一道水题

题目描述

在MarsMars星球上，每个MarsMars人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有NN颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样，通过吸盘（吸盘是MarsMars人吸收能量的一种器官）的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为mm，尾标记为rr，后一颗能量珠的头标记为r，尾标记为nn，则聚合后释放的能量为m imes r imes nm×r×n（MarsMars单位），新产生的珠子的头标记为mm，尾标记为nn。

需要时，MarsMars人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最大。

例如：设N=4N=4，44颗珠子的头标记与尾标记依次为(2,3) (3,5) (5,10) (10,2)(2,3)(3,5)(5,10)(10,2)。我们用记号⊕表示两颗珠子的聚合操作，(jj⊕kk)表示第j,kj,k两颗珠子聚合后所释放的能量。则第44、11两颗珠子聚合后释放的能量为：

(44⊕11)=10 imes 2 imes 3=60=10×2×3=60。

这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为：

((44⊕11)⊕22)⊕33）=10 imes 2 imes 3+10 imes 3 imes 5+10 imes 5 imes 10=71010×2×3+10×3×5+10×5×10=710。

输入输出格式

输入格式：

 

第一行是一个正整数N(4≤N≤100)N(4≤N≤100)，表示项链上珠子的个数。第二行是NN个用空格隔开的正整数，所有的数均不超过10001000。第ii个数为第ii颗珠子的头标记(1≤i≤N)(1≤i≤N)，当i<Ni<N时，第ii颗珠子的尾标记应该等于第i+1i+1颗珠子的头标记。第NN颗珠子的尾标记应该等于第11颗珠子的头标记。

至于珠子的顺序，你可以这样确定：将项链放到桌面上，不要出现交叉，随意指定第一颗珠子，然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。

 

输出格式：

 

一个正整数E(E≤2.1 imes (10)^9)E(E≤2.1×(10)9)，为一个最优聚合顺序所释放的总能量。

 

输入输出样例

输入样例#1： 复制

4
2 3 5 10

输出样例#1： 复制

710

说明

NOIP 2006 提高组 第一题

矩阵这道题和它是一样的

题目描述
矩阵乘法是定义在矩阵上的二元运算，支持结合律但不支持交换律。一个m∗nm∗n的矩阵A和一个n∗pn∗p的矩阵B相乘，需要进行m∗n∗pm∗n∗p次乘法运算，并得到一个m∗pm∗p的矩阵。 现给出NN个矩阵相乘，求进行乘法运算的最小次数。

输入格式
第一行一个正整数NN，表示矩阵的个数。 接下来NN行每行两个数m[i]m[i]和n[i]n[i]，表示这个矩阵的行数和列数。 数据保证m[i]=n[i−1]m[i]=n[i−1]，即矩阵可以相乘。

输出格式
输出一行一个正整数，表示乘法运算的最小次数。

样例一
input

3
50 10
10 20
20 5
output

3500
样例解释
运算顺序为A∗(B∗C)A∗(B∗C)，计算B∗CB∗C需要10∗20∗5=100010∗20∗5=1000次乘法，然后得到一个10∗510∗5的矩阵BCBC去和AA相乘，乘法次数为50∗10∗5=250050∗10∗5=2500，总乘法次数为3500.

限制与约定
对于30%的数据,n≤10n≤10
对于60%的数据,n≤100n≤100
对于100%的数据,n≤500,1≤n[i],m[i]≤50n≤500,1≤n[i],m[i]≤50
时间限制：1s1s
空间限制：256MB

题干

 

这道题一看题干，发现相当于是两个合成过的珠子进行合并，看出是区间dp（我不会告诉你我提前知道标签的）

然后状态转移方程很明了了

${ m{dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i][k] + dp[k + 1][j] + power[i][0]*power[j][1]*power[k][1]);}}$

附一个区间DP理解+模板

 区间DP的原理，其实就是先预处理处长度为1的状态，然后枚举的是长度和起点，然后算出终点，枚举中间点（之前傻傻以为枚举起点终点233）

而对于循环型的区间DP，比如合并石子的环形操场版本，还有这道题，只要将数组开大二倍，然后枚举一遍扫答案即可（可以理解为枚举一个环在哪里断开）

 1 for(int len=2;len<=n;len++)
 2 {
 3     for(int i=1;i+len-1<=n;i++)
 4     {
 5         int j=i+len-1;
 6         for(int k=i;k<=j;k++)
 7         {
 8             dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+.......);
 9         }
10     }
11 }

 这道题很水，但是很适合区间DP练手的

上代码！

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 #define _ 0
 5 using namespace std;
 6 int n,w; 
 7 int power[110*2][2],dp[110*2][110*2];
 8 int main()
 9 {
10     memset(dp,-1,sizeof(dp));
11     scanf("%d",&n);
12     for(int i=1;i<=n;i++)
13     {
14         scanf("%d",&w);
15         power[i][0]=power[i-1][1]=w;
16         power[i+n][0]=power[i+n-1][1]=w;
17         dp[i][i]=dp[i+n][i+n]=0;
18     }
19     for(int len=2;len<=n*2;len++)
20     {
21         for(int i=1;i+len-1<=2*n;i++)
22         {
23             int j=i+len-1;
24             for(int k=i;k+1<=j;k++)
25             {
26                 dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+power[i][0]*power[j][1]*power[k][1]);
27             }
28         }
29     }
30     int ans=-1;
31     for(int i=1;i<=n;i++)
32         ans=max(ans,dp[i][i+n-1]);
33     printf("%d
",ans);
34     return ~~(0^_^0);
35 }
36 /*
37 4
38 2 3 5 10
39 */