bzoj1041: [HAOI2008]圆上的整点（数学）

Posted 2021-01-25 gaxc

原题链接

题目描述：求一个给定的圆(x^2+y^2=n^2)，在圆周上有多少个点的坐标是整数。

输入格式：只有一个正整数n,n<=2e9

输出格式：整点个数

输入样例：
4

输出样例：
4

解析：推到一半就不会了，果然我还是太菜~
???题目要求 (x^2 + y^2 = n^2)
???那么 (n^2 - x^2 = y^2)
???((n + x)(n - x)=y^2)
???设d = gcd(n + x, n - x)
???那么 n + x = (d imes v), n - x = (d imes u)，(u < v)，gcd(u, v) == 1
???因为两数相乘是个完全平方，所以u和v都是完全平方
???设 u = (a^2) , v = (b^2)，(a < b)，gcd(a, b) == 1
???所以 n + x = (d imes b^2)，n - x = (d imes a^2)
???两式相加，n = (d imes (a^2+b^2)div2)
???(2 imes n = d imes (a^2 + b^2))
???所以可以枚举 2n 的每个因数，再枚举a，最后判断b是否合法即可
???注意要判断gcd(a, b) = 1，并且a < b
???这样就算出了第一象限的答案，最后将答案乘4即可

代码如下：

#include<cstdio>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;

const int maxn = 1e5 + 5;
int ve[maxn], tot;
ll n, ans;

int gcd(int x, int y) {
    if (!y) return x; else return gcd(y, x % y);
}

int main() {
    scanf("%lld", &n); n <<= 1;
      for (int i = 1; i <= sqrt(n); ++ i) { //找出所有的因数 
        if (n % i == 0) {
            int a = n / i, b = i;
            if (a != b) ve[++ tot] = a, ve[++ tot] = b;
              else ve[++ tot] = a;
          }
      }
      for (int i = 1; i <= tot; ++ i) {
        ll tmp = n / ve[i];
          for (int j = 1; j <= sqrt(tmp); ++ j) {
              ll a = j, b = sqrt(tmp - a * a);
              if (a > b) break; //a不能大于b 
              if ((gcd(a, b) == 1) && (b * b == tmp - a * a)) ans ++; //合法就统计答案 
            }
      }
    printf("%lld", ans << 2); //最后将答案乘4 
    return 0;
}