对称群的表示

Posted 2021-01-24 xiongruimath

最近回顾了一下对称群的表示。下面记$X$的对称群$mathfrak{S}_X={Xstackrel{f} o X: extrm{$f$是双射}}$，并记$mathfrak{S}_n=mathfrak{S}_{{1,ldots,n}}$。

熟知以下结果

• $mathfrak{S}_n$共轭类由置换的『型』分类，具体来说是$n$的分拆$mu:mu_1geq ldots geq mu_k$使得$mu_1+ldots+mu_k=n$，『型』为$mu$的元素形如$$(a_1ldots a_{mu_1})(b_1ldots )ldots (c_1ldots c_{mu_k})$$而共轭作用体现在轮换上是$$sigma(a,b,ldots,c)sigma^{-1}=(sigma(a),sigma(b),ldots,sigma(c))$$
• $mathfrak{S}_n$的一维表示只有平凡表示和$sgn$。
• 每一个分拆$mu:mu_1geq ldots geq mu_k$都对应一个Young图，从上至下第$i$行从左排列$mu_k$个方格。而给这$n$个方格填入$1$到$n$后被称为Young表。

以下证明是我自己改写的，或许比很多常见证明简洁很多，不过没有本质的不同。

下面我们开始建立对称群的表示论。下面固定$n$，以及特征不整除$n ! $的域$k$，即特征大于$n$或特征为$0$。

定义（Young表）给一个Young图$n$个方格填入$1$到$n$后被称为Young表，原本的Young图被称为Young表的型。显然$mathfrak{S}_n$自然地作用在同型的Young表上。

定义（行群，列群）对于Young表$t$，定义行群和列群$$R_t={sigmain mathfrak{S}_n: extrm{$sigma$保持每行元素不变}}qquad C_t={sigmain mathfrak{S}_n: extrm{$sigma$保持每列元素不变}}$$并且定义行和与列交错和$$r_t=sum_{sigmain R_t} sigma qquad c_t=sum_{sigmain C_t}sgn(sigma) sigma$$

我们采取的方法是直接从群环直接构造出不可约模，间接但是便于把握的方法可见李文威的讲义 Yanqi Lake Lectures on Algebra Part I 。证明的关键是如下的性质。

命题 关于行群与列群，有如下的结论

• $sigma R_tsigma^{-1}=R_{sigma t}$，并且$sigmain R_{t}$时，$R_t=R_{sigma t}$。
• $sigma C_tsigma^{-1}=C_{sigma t}$，并且$sigmain C_{t}$时，$C_t=C_{sigma t}$。
• （行列关系）如果$t,s$是同型的Young表，那么下列两情况必居且仅居其一$$C_tcap R_s extrm{含对换}qquad C_t tcap R_s s eq varnothing$$
• （比较定理）如果按照字典序$t$的型严格小于$s$的型，那么$$C_tcap R_s extrm{含对换}$$

证明 前两条是显然的。『行列关系』注意到不含对换当且仅当『$s$同一行的不同元素在$t$中在不同列』。而这一条件说明可以变换对$t$作$C_t$变换，对$s$作$R_s$变换化成同一个Young表，具体来说先将$t$的第一行所有元素变成$s$第一行的所有元素，然后再变动第二行以下的行，以此类推，每次不会变动已经完成的行，最终和$s$每行元素都相同。反之亦然。为了看到『比较定理』，假设在第$i$行$t$的元素开始少于$s$的元素，注意到根据前两条，和类似『行列关系』的算法，可以假设$s,t$前$i-1$行都相同，这样，$s$第$i$行必定有元素落在$t$的同一行。$square$

命题 关于行和与列交错和，有如下的结论

• $sigma r_tsigma^{-1}=r_{sigma} t$，并且$sigmain R_t$时，$sigma r_t = r_tsigma =r_t$，从而$r_{sigma t}=r_t$。
• $sigma c_tsigma^{-1}=c_{sigma} t$，并且$sigmain C_t$时，$sigma c_t=c_tsigma=sgn(sigma)c_t$，从而$c_{sigma t}=c_t$。
• （行列关系）如果$t,s$是同型的Young表，则$$C_tcap R_s extrm{含对换}iff c_tr_s=0$$
• （比较定理）如果按照字典序$t$的型严格小于$s$的型，那么$$c_tr_s=0$$

证明 前两条同样是显然的。根据上一个命题，在前一种情况，可以直接计算$c_t r_s=c_t( extrm{对换}) r_s=-c_tr_s$，故$c_tr_s=0$，在后一种情况，存在$cin C_t, rin R_s$使得$ct=rs$，故$c_tr_s=c_{ct}r_{rs}=c_{rs}r_{rs}$，故只要说明对任意Young表$t$，$c_{t}r_t eq 0$即可，考虑常数项即可。『比较定理』则是类似的。$square$ 

比较定理还可以放松字典序的条件，只需要$t$任意前$i$行方格数加起来不超过$s$前$i$行方格数加起来，这样算法需要修改成将$t$第一行放置在$s$行数尽可能小的数，具体细节留给读者。好在字典序已然够用。有了上述准备工作，我们下面开始最终定理的陈述。

定义 对每个Young图$t$，定义$e_t=c_tr_t$。

定理 $mathfrak{S}_n$的所有不可约表示都同构于$k[mathfrak{S}_n]e_t$，同构当且仅当型相同。

为此我们需要一个技术化的引理。

引理 对于任意$xin mathfrak{S}_n$，

• （行列关系）$c_txr_tin kcdot c_tr_t=kcdot e_t$。
• （比较定理）如果按照字典序$t$的型严格小于$s$的型，那么$c_txr_s=0$。

证明 『行列关系』注意到$c_txr_t=c_tr_{xt}x$，如果$c_tr_{xt}=0$，那么已经完成证明，否则根据上面的命题，$C_ttcap R_{xt}(xt)=C_ttcap xR_{t}x^{-1} (xt) eq varnothing$，这样$xin C_tR_t$，这样$x$被两边吸收得证。『比较定理』证明同样，不过更加简单。$square$

推论 对于任意$xin mathfrak{S}_n$，

• （行列关系）$e_txe_tin kcdot e_t$。
• （比较定理）如果按照字典序$t$的型严格不等于$s$的型，那么$e_txe_s=0$。

证明 显然。$square$

下面我们开始证明。

证明 证明分几步。

• $k[mathfrak{S}_n]e_t$是不可约表示。这是因为任何非零子模$M$（是$k[mathfrak{S}_n]$的左理想），根据推论『行列关系』$e_t Msubseteq kcdot e_t$，如果$e_tM = kcdot e_t$，那么$e_tin M$故$M=k[mathfrak{S}_n]e_t$。如果$e_tM=0$，这说明$Mcdot M= 0$，但是根据Maschke定理，$M$是$k[mathfrak{S}_n]$的直和项，内含幂等元，这是不可能的。
• 同型的$t,s$对应的$k[mathfrak{S}_n]e_t$和$k[mathfrak{S}_n]e_s$是同构的。显然，二者仅仅相差一个共轭。
• 不同型的$t,s$对应的$k[mathfrak{S}_n]e_t$和$k[mathfrak{S}_n]e_s$不是同构的。根据上面推论的『比较定理』$e_t[mathfrak{S}_n]e_s=0$，但和第一段相同的理由$e_t[mathfrak{S}_n]e_t eq 0$。
• $k[mathfrak{S}_n]e_t$给出所有不可约表示。因为特征的理论，不可约表示的数目小于等于共轭类数目，熟知Young图数目和分拆数相等，$mathfrak{S}_n$的共轭类和分拆数也相等。

 命题得证。$square$

以上结果还说明任何特征不$n !$整除的域$k$都是$mathfrak{S}_n$的分裂域（即Schur引理所断言的除环均是自身）。

最后需要指出，对称群表示的话题远没有结束，我们还没有计算出维数特征以及和Young图的联系，更具体的讨论可见Fulton & Harris Representation Theory  A First Course。