对称对角矩阵的表示

Posted 2023-02-16

【中文标题】对称对角矩阵的表示

【英文标题】：Representation of a symmetric diagonal matrix

【发布时间】：2016-10-19 00:29:07

【问题描述】：

假设我们有一个巨大的对称对角矩阵。实现这一点的有效方法是什么？

我能想到的唯一方法是通过使用Xij = Xji 的对称属性，我们可以将这个矩阵的大小减少一半。但是使用 2D 数组来表示这个矩阵是低效的，因为我们不能通过使用数组来减小矩阵的大小。

使用邻接表表示这个矩阵的另一件事也是低效的，因为将这个矩阵与一个图相关联。这将是一个密度图。并且adj list的操作需要大量的时间，如删除、插入和搜索。

但是使用堆呢？

【问题讨论】：

尝试使用带有锯齿列和索引的一维数组来处理镜像。

是的，这是一个不错的选择。有没有其他你能想到的方法？

恐怕没有足够的信息给你更好的东西。需要知道您的预期使用模式，但一维数组即使具有您需要的中等复杂的索引数学，也会遇到很多问题。

Emm..什么是对称对角矩阵？你能举个例子吗？

【参考方案1】：

在您决定要如何处理这个矩阵（或者可能是矩阵？）之前，没有一个答案。

如果您只是要存储并记住它，那么只需按顺序存储它，省去多余的条目。 （您的代码知道如何访问它，因为这就是它所做的一切，对吧？）

更可能的是，您想对其进行正常的矩阵运算。在这种情况下，您是想提高存储效率还是提高执行效率？在后一种情况下，我看不到很多基于对称的机会——乘法是昂贵的东西，你可能仍然需要所有这些。如果是存储，那么您是否将自己限制在只接受对称输入和对称输出的操作？听起来非常具体。如果是这样，那么您只需要对要存储的部分进行计算，因为根据定义，其他条目是对称的，因此只需编写代码来生成矩阵的该部分即可。

【讨论】：

有时你知道我们需要在高效存储和高效执行之间取得平衡。我处理它的矩阵包含点之间的距离，即距离度量，例如余弦距离。由于我处理的是大型数据集，我需要找到有效的数据结构来平衡存储和执行。

通常在 0-50% 的范围内储蓄不会让任何人兴奋（真正的回报是 90-99.9% 的储蓄）。但是，如果这使您的系统可行，我会说值得编写所有代码，以便它知道每个矩阵的形状——无论如何，只有操作代码才能为矩阵中的任何给定位置赋予意义。