P1962 斐波那契数列

Posted 2021-01-24 sevenyuanluo

（gg直接讲的用矩阵求斐波那契数列

（原地死亡

（全程一脸懵逼

（然后看了半个点题解

首先，什么是矩阵呢

就是类似于这样的东西（里面可以填什么复数啊，实数啊的

然后矩阵的基本运算了解一下

加法很简单emmmm（不说了

乘法需要了解一下，毕竟比较神奇

（A * B ！= B * A 难道不觉得违背常识吗？多神奇啊！

（我觉得讲矩阵乘法讲的最好，最通俗易懂的是曹天元所著的《上帝掷骰子吗》中 chapter 05 part 3，推荐看一下

矩阵乘法嘛。。。只要知道基本要求就那么求就行了emmmm

两个矩阵，第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相等时即可相乘

举个栗子

然后正经的解释和公式是酱的:

设A为 m * p 的矩阵，B为 p * n 的矩阵，那么称 m * n 的矩阵C为矩阵A与B的乘积，记作 C = AB

其中矩阵C中的第 i 行第 j 列元素可以表示为

需要注意的是

矩阵C的行数等于矩阵A的行数，C的列数等于B的列数。

乘积C的第m行第n列的元素等于矩阵A的第m行的元素与矩阵B的第n列对应元素乘积之和。

(来源百度百科【特别鸣谢orz

大概理解了矩阵乘法之后我们来看看这道题吧

标签是矩阵乘法诶那怎么用呢【考场上能想到矩阵乘法的都tql！！！

一看数据范围，显然正常递推会只得60分

如果想要拿到满分需要想一下优化

然后我们刚刚说到矩阵

（我也不知道他们怎么想出来用矩阵的 tql！！！

我们会发现矩阵的定义里有这么一个东西叫做单位矩阵

主对角线上的元素都为1，其余元素全为0的n阶矩阵称为n阶单位矩阵

（主对角线就是左上角到右下角的那条对角线

它长这个样子

它有什么用呢？

所有矩阵乘上单位矩阵都等于本身

（哇看起来好鸡肋23333

（说实话我也不知道它有什么用

（但是它给我们提供了一个思路，如何模拟斐波那契数列

 如果我们构造一个矩阵（符合斐波那契数列的规律

我们要推出它从何而来

因为我们知道 F [i] = F [i - 1] + F [i - 2]

那么某两个矩阵相乘能够得到这样一个矩阵

 

因为我们要找规律嘛，所以其中一个矩阵一定与构造的那个矩阵性质相似

即为 

那再逆着推出来另一个矩阵就很简单了

最后得到

这样一直推下去

一定会推到 i = 2 ，i - 1 = 1 

这样的话定义一个初始矩阵两行全为一，再反复乘这个固定的

矩阵

就能得到最终的结果

因为最初的 F [1],F [2]已经定义了

所以要求出F [n]的值，我们只需要乘上固定矩阵的 n - 2次方即可

这里需要用到矩阵快速幂

其实和快速幂没什么区别，只是需要写一个矩阵相乘的函数或是重置运算符

但是一定要记住，因为矩阵相乘 A * B ！= B * A

所以如果初始矩阵与固定矩阵乘反了的话，结果就不一样了

如果反过来，初始矩阵就应该是一行两列的矩阵了

（我就是这样写的23333

最后的结果就是第一行第一列的数了

看代码吧～

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define ll long long
#define mod 1000000007//别忘了膜
using namespace std;

struct matrix {
    ll a[3][3];
    matrix() {
        memset(a,0,sizeof(a));
    }
} ans,base;//用结构体存放矩阵，并在结构体中将数组一次性初始化

matrix operator * (const matrix &x,const matrix &y) {
    matrix z;
    for(ll i = 1; i <= 2; i++)
        for(ll j = 1; j <= 2; j++)
            for(ll k = 1; k <= 2; k++)
                z.a[i][j] = (z.a[i][j] + x.a[i][k] * y.a[k][j] % mod) % mod;
    return z;
}//重置运算符，不然写个函数也行

void quickpow(ll b) {
    while(b) {
        if(b & 1) ans = ans * base;//别乘反了
        base = base * base;
        b >>= 1;
    }
}//快速幂

int main() {
    ll n;
    scanf("%lld",&n);
    if(n <= 2) {
        printf("1");
        return 0;
    }
    base.a[1][1] = base.a[1][2] = base.a[2][1] = 1;//固定矩阵
    ans.a[1][1] = ans.a[1][2] = 1;//初始矩阵
    quickpow(n - 2);
    printf("%lld",ans.a[1][1] % mod);
    return 0;
}

emmmmm

那么这道题就讲完啦

第二道蓝题祭～