[ZJOI2015]幻想乡战略游戏——动态点分治

Posted 2021-01-23 miracevin

[ZJOI2015]幻想乡战略游戏

带修改下，边点都带权的重心



随着变动的过程中，一些子树内的点经过会经过一些公共边。考虑能不能对这样的子树一起统计。

把树上贡献分块。

考虑点分治算法



不妨先把题目简化一下：

假设没有修改，多次询问，每次给定一个s，求$sum d_v*dis(s,v)$

为了让一块可以一起统计，

我们设：

$sum[x]:$x为根的点分治树管辖部分的权值和

$df[x]$：x为根的点分治树管辖部分到x分治树father的带权距离和$sum d[v]*dis[v,fa[x]]$

$dm[x]:$ x为根的点分治树管辖部分到x自己的带权距离和



自底向上统计总距离

开始加上$dm[s]$,然后不断加上$dis(s,fa)*(sum[fa]-sum[las])+dm[fa]-df[las]$

las代表上一个father

$dis(s,fa)$可以开始点分治的时候保存（反正就log个）

对于一个s，可以$logn$找到答案



$dm,sum,df$也可以轻而易举$logn$修改



问题是现在我们不知道s是哪一个。

我们比较熟悉一个叫货仓选址问题。

这个重心，很类似于带权中点。

从分治树的root开始，枚举原树上的出边，到y，y所在的这一层的分治树的father叫做son。如果存在一个子树的sum[son]要大于x的剩下分支的点值总和，那么重心一定在son里。

（简单证明：

如果存在sum[son]>sum[x]-sum[son],那么这样的son一定只有一个

存在往son走，减去的代价多，增加的代价少。存在代价更小的情况。（至少是y）

而往其他子树走，代价一定是单调递增上涨的。不可能更优。

所以，重心一定在son管辖的分治树这块区域

）

可以递归处理下去。

但是一个问题是，

 

如果到了son位置，但是对于son的1号子树，权值和必须考虑上B的所有权值和。

否则肯定不能直接走。

我们还要返回去考虑father们的权值？

发现难以处理。因为之后的划分可能较多。还要$logn$暴力找father

发现B的权值只有在询问包含y的子树的块才会用到。

所以，我们干脆直接把y点的权值加上sum[B]。回溯回来再减去。

然后就可以放心大胆查询子树的权值和了。

（因为这个小trick瞎写了半天。。。。）

由于只会找到一个son，所以，每次找s的复杂度是:$O(20logn+log^2n)$

就可以了。

（虽然暴力$20*log^2n$每次也可以过，因为时限6s)



代码：

// luogu-judger-enable-o2
#include<bits/stdc++.h>
#define reg register int
#define il inline
#define numb (ch^‘0‘)
using namespace std;
typedef long long ll;
il void rd(int &x){
    char ch;x=0;bool fl=false;
    while(!isdigit(ch=getchar()))(ch==‘-‘)&&(fl=true);
    for(x=numb;isdigit(ch=getchar());x=x*10+numb);
    (fl==true)&&(x=-x);
}
namespace Miracle{
const int N=1e5+5;
int n,m;
struct node{
    int nxt,to;
    int son;
    ll val;
}e[2*N];
int hd[N],cnt;
void add(int x,int y,ll z){
    e[++cnt].nxt=hd[x];
    e[cnt].to=y;
    e[cnt].val=z;
    hd[x]=cnt;
}
ll has[N];
int rt;
ll dm[N],df[N],sum[N];
ll dis[N][20];
int fa[N];
int sz[N],mxsz[N];
int nowsz;
int gen;
int dep[N];
bool vis[N];
void dfs1(int x,int ff,int d){
    dep[x]=d;
    sz[x]=1;mxsz[x]=0;
    for(reg i=hd[x];i;i=e[i].nxt){
        int y=e[i].to;
        if(y==ff) continue;
        if(vis[y]) continue;
        dfs1(y,x,d);
        sz[x]+=sz[y];
        mxsz[x]=max(mxsz[x],sz[y]);
    }
    mxsz[x]=max(mxsz[x],nowsz-sz[x]);
    if(mxsz[x]<=nowsz/2){
        rt=x;
    }
}
void dfs2(int x,int ff,int d){
    sz[x]=1;
    for(reg i=hd[x];i;i=e[i].nxt){
        int y=e[i].to;
        if(y==ff||vis[y]) continue;
        dis[y][d]=dis[x][d]+e[i].val;
        dfs2(y,x,d);
        sz[x]+=sz[y];
    }
}
int divi(int x,int ff,int d){
    rt=0;
    dfs1(x,0,d);
    dis[rt][d]=0;
    fa[rt]=ff;
    dfs2(rt,0,d);
    
    vis[rt]=1;
    int now=rt;
    for(reg i=hd[now];i;i=e[i].nxt){
        int y=e[i].to;
        if(vis[y]) continue;
        nowsz=sz[y];
        e[i].son=divi(y,now,d+1);
    }
    return now;
}
void upda(int x,ll c){//c is change
    int gg=x;
    int nd=dep[x];
    while(x){
        sum[x]+=c;
        df[x]+=c*dis[gg][nd-1];
        dm[x]+=c*dis[gg][nd];
        
        x=fa[x];
        --nd;
    }
}
int query(int x,int d){
    //cout<<" querying "<<x<<" || "<<" "<<d<<endl;
    for(reg i=hd[x];i;i=e[i].nxt){
        int y=e[i].to;
        if(dep[y]<dep[x]) continue;
        int lp=e[i].son;
        if(sum[lp]>sum[x]-sum[lp]){
            upda(y,sum[x]-sum[lp]);
            int ret=query(lp,d+1);
            upda(y,sum[lp]-sum[x]);
            return ret;
        }        
    }
    return x;
}
ll calc(int x){
    ll ret=dm[x];
    int gg=x;
    int las=x;
    x=fa[x];
    int nd=dep[x];
    while(x){
        ret+=(dm[x]-df[las])+(sum[x]-sum[las])*dis[gg][nd];
        --nd;
        las=x;
        x=fa[x];
    }
    return ret;
}
int main(){
    rd(n);rd(m);
    int x,y;
    ll z;
    for(reg i=1;i<=n-1;++i){
        rd(x);rd(y);scanf("%lld",&z);
        add(x,y,z);add(y,x,z);
    }
    nowsz=n;
    gen=divi(1,0,1);
    //cout<<" ffafaf "<<endl;
//    for(reg i=1;i<=n;++i){
//        cout<<i<<" : "<<fa[i]<<endl;
//    }
    //cout<<" gen "<<gen<<endl;
    while(m--){
        rd(x);scanf("%lld",&z);
        upda(x,z);
        has[x]+=z;//warning!!!!
//        for(reg i=1;i<=n;++i){
//            cout<<i<<" : "<<sum[i]<<" "<<dm[i]<<" "<<df[i]<<endl;
//        }
        int core=query(gen,1);
        printf("%lld
",calc(core));
        
    }
    return 0;
}

}
int main(){
//    freopen("data.in","r",stdin);
//    freopen("my.out","w",stdout);
    Miracle::main();
    return 0;
}

/*
   Author: *Miracle*
   Date: 2018/11/29 8:55:17
*/