A.\\(CDQ\\) 分治
特别基础的教程略。
\\(CDQ\\)分治的优缺点：
( 1 )优点：代码量少，常数极小，可以降低处理维数。
( 2 )缺点：必须离线处理。
\\(CDQ\\)分治与其他分治最本质的不同在于：
分治到达\\([L,R]\\)时，分治处理\\([L,mid]\\)与\\([mid+1,R]\\)
然后递归上来合并的时候：
只考虑 [L,mid]中元素 对 [mid+1,R] 中元素的影响
看起来这句话非常简单，但只要正真理解了这句话，也就理解了\\(CDQ\\)分治。
只要是满足这个原则的分治，都是可以称作\\(CDQ\\)分治的。
下面给出几个例子，都是为了理解这句话：
例题1:
给定长度为\\(10^5\\)的一个序列，有一下两种操作：
（1）type=1：x val ,把序列第x位置的元素加上val
（2）type=2：x y , 求解[x,y]元素值的和
树状数组大水题.....
如果用\\(CDQ\\)分治呢？(虽然非常非常没有必要).
我们把求解\\([x,y]\\)元素之和拆分为求前缀和\\(pre[y]-pre[x-1]\\)。
那么会对\\(pre[x]\\)产生影响的为：操作时间在其之前，修改位置\\(\\leq x\\)的修改操作。
建立二元组\\((time , x)\\)，外部以time排序，然后分治。
分治时，每次以\\(x\\)归并排序,
合并\\([L,mid]\\)与\\([mid+1,R]\\)时，统计\\([L,mid]\\)有几个修改操作。
那么如果在\\([mid+1,R]\\)碰到了修改操作，自然此时的统计数即为答案。
注意到上面：只统计[L,mid]的修改，只计算[mid+1,R]的答案。
这就是\\(CDQ\\)分治的关键所在，因为这样统计可以做到不重不漏，代码见这里。
例题2：
三维偏序问题：
给定\\(n\\)个元素，每个元素有三个属性\\(a,b,c\\)。
定义\\(f(i) = \\sum_{i=1}^n [i!=j]\\times [a_j<a_i 且 b_j<b_i 且 c_j<c_i]\\)
试计算\\(f(1),f(2),...f(n)\\)，数据范围 \\(n \\leq 10^5\\)。
三维偏序是\\(CDQ\\)分治的最经典应用。
先确定分治原则：
建立三元组\\((a,b,c)\\)，外部先按照\\(a\\)排序，消除\\(a\\)的影响。
然后分治内部以\\(b\\)为准则进行归并。此时我们保证了\\(a_j<a_i\\)与\\(b_j<b_i\\)
第三维\\(c_j<c_i\\)怎么办？用以\\(c\\)值建立权值树状数组维护即可。
具体流程为：
（1）递归处理\\([L,mid]\\)与[mid+1,R]；
（2）以\\(b\\)为准则归并，其中：
（ 2>1 ）若为\\([L,mid]\\)元素，将其\\(c\\)值插入权值树状数组
（ 2>2 ）若为\\([mid+1,R]\\)元素，在权值线段树中查询小于其\\(c\\)值的元素个数。
（3）回溯;
观察到处理时，依旧满足上面\\(CDQ\\)分治的特性。
如果偏序原则中为\\(\\leq\\)即可，那么需要先去重。具体代码见这里
\\(CDQ\\)分治的写法
一个非常大的误区：\\(CDQ\\)分治一定要归并或边归并边处理。
这其实是不对的，上面说过，只要满足\\(CDQ\\)分治原则就可以称为\\(CDQ\\)分治。
所以\\(CDQ\\)分治的写法其实是多重多样，甚至不拘一格的。
B.CDQ分治中分治原则的确定
\\(CDQ\\)分治中的一个难点就是确定分治原则。
在我们分治前，我们会确定元素的分治多元组。
分治多元组的确定关键是看分治中对答案的影响因素。
下面给两个非常经典的例题：
例题3：
序列初始为空，接下来每次会在指定位置\\(i\\)插入一个元素\\(x\\)
求每次插入后，序列中的逆序对个数。
保证插入元素的值不重复，数据范围\\(n \\leq 10^5\\)
确定三元组\\((time , pos , val)\\)，然后分治：
外部以\\(time\\)进行排序，消除\\(time\\)的影响。
然后内部以\\(pos\\)为原则进行归并，然后怎么处理呢？
考虑一下元素对答案的影响：
每次新增的点对此时答案的贡献为：
（1）插入时间比它早，位置在它前面，值比它大的元素。
（2）插入时间比它早，位置在它后面，值比它大的元素。
所以我们先以\\(pos\\)从小到大归并排序好。
然后从前往后正着扫一遍，
如果元素的\\(time \\leq mid\\)，那么在树状数组中插入它的\\(val\\)。
如果元素的\\(time > mid\\)，那么在树状数组中查询大于它的\\(val\\)的元素个数，加入答案。
然后再从后往前倒着扫一遍，处理方法一样。
这样我们最后就得到了每加入一个元素新增的贡献数，最后统计一下答案即可。
具体代码戳我。
例题4：
给定一个大小为\\(n*n\\)的矩阵，初始每个格子元素都为\\(0\\)
一共有\\(10^5\\)个操作，操作如下：
（1）type=1：x y val ,把(x,y)位置的元素加上val。
（2）type=2：x1 y1 x2 y2, 查询(x1,y1)到(x2,y2)这个矩形的元素和。
貌似是上面的 例题1 的升级版....
由二维变为三维，怎么做呢？ 其实差不多。
二维前缀和之类的略，自己\\(yy\\)，然后：
建立三元组\\((time , x , y)\\)
会影响询问答案的为：操作时间早于其，x、y都小于等于它x、y的修改操作
所以外部以\\(time\\)排序，然后以\\(x\\)为原则归并。
归并的时候，如果是左边区间的修改操作，把其修改值\\(val\\)值插入树状数组中的\\(y\\)位置。
如果是右边的查询操作，查询树状数组中小于等于其\\(y\\)值的元素值之和。
这题做完了......
C.\\(CDQ\\)分治的嵌套使用
1.解决四维偏序问题：
首先我们考虑三维偏序的解决方法：
外围排序三元组变为\\([L,b,c]与[R,b',c']\\)，然后归并变为\\([L,L,c]与[R,R,c']\\)
所以此时只需要在树状数组中查询\\(c\\)了。
那么四维是不是类似呢？
首先外围排序，四元组变为\\([L,b,c,d]与[R,b,c,d]\\)
然后我们先以\\(b\\)为原则归并，但是并不统计答案。
此时我们要记录归并好的序列中每一个元素的\\(a\\)是属于\\(L\\)还是\\(R\\)。
那么此时只有\\(b\\)是有序的，\\(a\\)虽然无序但是我们记录了其来源（顺序）。
即此时的四元组为\\([L/R,L,c,d]\\)与\\([L/R,R,c',d']\\)
此时把这个新的序列带入下一层\\(CDQ\\)中再跑一遍，不就是三维偏序的处理吗？
但是这里注意，为了保证\\(a\\)的顺序，只有\\([L,L,c,d]\\)与\\([R,R,c',d']\\)的元素才是合法的。
这个也非常好解决，第一层\\(CDQ\\)归并时对每个元素打一个标记即可。
具体的代码见这里
2.解决N维偏序问题
这里提个醒，用嵌套\\(CDQ\\)解决\\(N\\)维偏序问题的复杂度是\\(O(N\\ log^{N-1}N)\\)的。
其实搞懂了四维偏序的解决方法后，五维、六维....不是一样的吗？
四维时我们打了一层标记，消除了一维的影响，最终变为了三维偏序问题。
那么\\(N\\)维我们则先归并\\(N-3\\)遍，打\\(N-3\\)层标记。
这样一共消除了\\(N-3\\)维的影响，然后再跑三维偏序即可。
实现五维偏序的具体代码见这里。