CDQ 总结

Posted 2022-05-19 oi-zzyy

tip：
　　CDQ 分治主要处理三维偏序问题，解题时主要是找出比较量（三个或两个），并找出适当排序顺序（有时不需））。　　

　　CDQ 分治常常与树状数组搭配，树状数组主要用来统计前缀和（权值前缀和 / 排名）、最值、逆序对。

实战：

T1：陌上花开

题干：

　　有 n 朵花,每朵花有三个属性:花形 (s)、颜色 (c)、气味 (m),用三个整数表示。现在要对每朵花评级,一朵花的级别是它拥有的美丽能超过的花的数量。

　　定义一朵花 A 比另一朵花 B 要美丽,当且仅当 Sa>=Sb , Ca>=Cb , Ma>=Mb 。

　　显然,两朵花可能有同样的属性。需要统计出每个等级的花的数量。

题解：
　　比较明显就可以看出这是一道 CDQ 分治，三个比较量就是 S、C、M，排序顺序对这道题来说没有影响。

　　需要注意的是，我们可以发现有可能两朵花的属性完全一样，根据题意来看，这两朵花互相更美丽。

　　注意一下我们需要求出的是每个等级的花的数量，而不是每朵花的等级。

　　在统计答案时需要去重，将完全一样的花合成一朵，只是权值增加了；当然，也可以不去重，只是我们需要找出 完全相同的花中 答案最大 的作为这种花的等级。

　　我们可以将 S sort 一下，将 C 用 CDQ 分治解决，将 M 压进树状数组中来统计。

　　在统计答案时（通法），我们直接在结构体中建立一个 ans 变量。因为本题的结果与 ans 更新的顺序没有直接关系，能更新就更新即可。

Code：

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<cstdlib>
 4 #include<algorithm>
 5 #define $ 200010
 6 using namespace std;
 7 int m,n,k,t,ans[$*2],cnt,tr[$*2];
 8 struct tree
 9     int s,c,m,t,sum,ans;  
10     friend bool operator != (tree x,tree y)
11         if(x.s!=y.s) return 1;
12         if(x.c!=y.c) return 1;
13         if(x.m!=y.m) return 1;
14         return 0;
15       
16     friend bool operator <  (tree x,tree y)
17         if(x.s!=y.s) return x.s<y.s;
18         if(x.c!=y.c) return x.c<y.c;
19         return x.m<y.m;
20     
21 a[$],pre[$],now[$];
22 inline void add(int x,int add)
23     if(x==0) return;
24     for(register int i=x;i<=k;i+=i&(-i)) tr[i]+=add; 
25 
26 inline int ask(int x,int ans=0)
27     for(register int i=x;i>=1;i-=i&(-i)) ans+=tr[i];
28     return ans;
29 
30 inline void CDQ(int l,int r)
31     if(l==r) return;
32     int mid=(l+r)>>1;
33     CDQ(l,mid);  CDQ(mid+1,r);
34     int left=l,right=mid+1,tip=0;
35     while(left<=mid&&right<=r)
36         if(a[left].c<=a[right].c)
37             add(a[left].m,a[left].sum), now[++tip]=a[left++];
38         else
39             a[right].ans+=ask(a[right].m), now[++tip]=a[right++];
40     
41     while(right<=r)
42         a[right].ans+=ask(a[right].m), now[++tip]=a[right++];
43     for(register int i=l;i<left;++i) add(a[i].m,0);
44     while(left<=mid)  now[++tip]=a[left++];
45     for(register int i=l;i<=r;++i)   a[i]=now[i-l+1];
46 
47 signed main()
48     scanf("%d%d",&n,&k);
49     for(register int i=1;i<=n;++i)
50         scanf("%d%d%d",&pre[i].s,&pre[i].c,&pre[i].m);
51     sort(pre+1,pre+n+1);
52     for(register int i=1,sum=1;i<=n;++i,++sum)
53         if(pre[i+1]!=pre[i]) a[++cnt]=pre[i], a[cnt].sum=sum, sum=0;
54     CDQ(1,cnt);
55     for(register int i=1;i<=cnt;++i) ans[a[i].ans+a[i].sum]+=a[i].sum;
56     for(register int i=1;i<=n;++i)   printf("%d\n",ans[i]);
57 

View Code

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<cstdlib>
 4 #include<algorithm>
 5 #define $ 200010
 6 using namespace std;
 7 int m,n,k,t,ans[$*2],cnt,tr[$*2];
 8 struct tree
 9     int s,c,m,t,ans;  
10     friend bool operator == (tree x,tree y)
11         if(x.s!=y.s) return 0;
12         if(x.c!=y.c) return 0;
13         if(x.m!=y.m) return 0;
14         return 1;
15       
16     friend bool operator <  (tree x,tree y)
17         if(x.s!=y.s) return x.s<y.s;
18         if(x.c!=y.c) return x.c<y.c;
19         if(x.m!=y.m) return x.m<y.m;
20         return x.ans<y.ans;
21     
22 a[$],pre[$],now[$];
23 inline void add(int x,int add)
24     if(x==0) return;
25     for(register int i=x;i<=k;i+=i&(-i)) tr[i]+=add; 
26 
27 inline int ask(int x,int ans=0)
28     for(register int i=x;i>=1;i-=i&(-i)) ans+=tr[i];
29     return ans;
30 
31 inline void CDQ(int l,int r)
32     if(l==r) return;
33     int mid=(l+r)>>1;
34     CDQ(l,mid);  CDQ(mid+1,r);
35     int left=l,right=mid+1,tip=0;
36     while(left<=mid&&right<=r)
37         if(a[left].c<=a[right].c)
38             add(a[left].m,1), now[++tip]=a[left++];
39         else
40             a[right].ans+=ask(a[right].m), now[++tip]=a[right++];
41     
42     while(right<=r)
43         a[right].ans+=ask(a[right].m), now[++tip]=a[right++];
44     for(register int i=l;i<left;++i) add(a[i].m,0);
45     while(left<=mid)  now[++tip]=a[left++];
46     for(register int i=l;i<=r;++i)   a[i]=now[i-l+1];
47 
48 signed main()
49     scanf("%d%d",&n,&k);
50     for(register int i=1;i<=n;++i)
51         scanf("%d%d%d",&a[i].s,&a[i].c,&a[i].m);
52     sort(a+1,a+n+1);  CDQ(1,cnt);  sort(a+1,a+n+1);
53     int tip=a[cnt].ans;
54     for(register int i=cnt;i>=1;--i)
55         if(a[i]==a[i-1]) ans[tip]++; 
56         else tip=
57     
58     for(register int i=1;i<=n;++i)   printf("%d\n",ans[i]);
59 

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T2：Mokia / 简单题

题干：

　　维护一个 W * W 的矩阵，初始值均为 S .每次操作可以增加某格子的权值,或询问某子矩阵的总权值.修改操作数 M<=160000,询问数 Q<=10000 , W<=2000000.
　　第一行两个整数 , S , W ;其中 S 为矩阵初始值; W 为矩阵大小
　　接下来每行为一下三种输入之一(不包含引号):
　　"1 x y a"
　　"2 x1 y1 x2 y2"
　　"3"
　　输入 1 :你需要把 (x,y) (第x行第y列)的格子权值增加a
　　输入 2 :你需要求出以左下角为 (x1,y1) ,右上角为 (x2,y2) 的矩阵内所有格子的权值和,并输出
　　输入 3 :表示输入结束

题解：

　　看到 w=2000000 ，数组模拟肯定不行，空间、时间复杂度都不行。

　　我们可以发现，每种操作都与时间有关，结果的更新也与时间有关；同时操作又与坐标有关。发现这几个变量，我们就可以想到用 CDQ 分治。

　　但是

Code：

 

 

T3：天使玩偶

题干：

 

题解：

 

Code：