愤怒的元首

Posted 2021-01-22 wolfycz

Description
Pty生活在一个奇葩的国家，这个国家有n个城市，编号为1~n。
每个城市到达其他城市的路径都是有向的。
不存在两个城市可以互相到达。
这个国家的元首现在很愤怒，他大喊一声“气死偶咧！”，然后决定把所有的路径都毁掉再重建。
元首想知道有多少种重建的方案使得这个国家仍然奇葩。

Input
第一行一个整数：n

Output
输出n个城市的重建方案数mod(10^9+7)的结果
Hint：基图不连通也是合法方案

Sample Input
3

Sample Output
25

HINT
n <= 3000

设(f[i])表示当前(i)个点构成的DAG数量，删掉出度为零的点后图依然是个DAG，因此我们可以枚举出度为零的点的个数，得到(f[i]=sum_{j=1}^{i}{f[i-j]*2^{j*(i-j)}*C(i,j)})

但是我们这样枚举出来的是至少有(j)个出度为零的点，因此我们使用广义容斥定理乘上容斥系数，最终答案为(f[i]=sum_{j=1}^{i}{(-1)^{j}f[i-j]*2^{j*(i-j)}*C(i,j)})

/*program from Wolfycz*/
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define inf 0x7f7f7f7f
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned int ui;
typedef unsigned long long ull;
inline int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    for (;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar())  if (ch=='-')    f=-1;
    for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar())    x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';
    return x*f;
}
inline void print(int x){
    if (x>=10)     print(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const int N=3e3,p=1e9+7;
int c[N+10][N+10],f[N+10];
int mlt(int a,int b){
    int res=1;
    for (;b;b>>=1,a=1ll*a*a%p)  if (b&1)    res=1ll*res*a%p;
    return res;
}
int main(){
    int n=read();
    c[0][0]=1;
    for (int i=1;i<=n;i++){
        c[i][0]=1;
        for (int j=1;j<=i;j++)  c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%p;
    }
    f[0]=1;
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=1;j<=i;j++)
            f[i]=(f[i]+1ll*(j&1?1:-1)*c[i][j]*mlt(2,j*(i-j))%p*f[i-j]%p)%p;
    printf("%d
",(f[n]+p)%p);
    return 0;
}