题目描述
给定一个 $n\times m$ 的方格图，每个格子有 ↑、↓、←、→，表示从该格子能够走到相邻的哪个格子。
有一些格子是空着的，需要填上四者之一，需要满足：最终的方格图中，从任意一个位置出发都能够走出方格图。求方案数 mod 10^9+7。
$数据组数\le 10$ ，$n,m\le 300$ ，$空格子数k\le 200$
题解
并查集+矩阵树定理
由于k很小，又是计数问题，考虑矩阵树定理。
先使用并查集处理出从每个位置开始，最终会走到哪个位置。显然如果有环则答案为0，否则一定走到的是一个空格子或方格图外部。
这样就不用考虑已填好的格子的走法，只需要考虑空格子的走法即可。
每个空格子需要走到方格图外部，不能有环，相当于是一棵以方格图外部为根的内向树形图。
考虑每个空格子4个方向会走到哪个空格子（或外部），连边，矩阵树定理求解即可。
本题要求的是内向树，因此求 出度矩阵-邻接矩阵 删去根节点所在行列，得到的行列式的值 即可。
时间复杂度 $O(nm+k^3)$
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define mod 1000000007
using namespace std;
typedef long long ll;
int id[210][210] , f[40010] , flag , v[40010] , wx[310] , wy[310];
ll a[310][310];
char str[210];
inline ll pow(ll x , int y)
{
ll ans = 1;
while(y)
{
if(y & 1) ans = ans * x % mod;
x = x * x % mod , y >>= 1;
}
return ans;
}
int find(int x)
{
return x == f[x] ? x : f[x] = find(f[x]);
}
inline void link(int x , int y)
{
x = find(x) , y = find(y);
if(x == y) flag = 1;
f[x] = y;
}
int main()
{
int T;
scanf("%d" , &T);
while(T -- )
{
int n , m , p = 0 , i , j , k , d = 0;
ll t , ans = 1;
scanf("%d%d" , &n , &m);
memset(id , 0 , sizeof(id)) , flag = 0;
for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
for(j = 1 ; j <= m ; j ++ )
id[i][j] = (i - 1) * m + j;
for(i = 0 ; i <= n * m ; i ++ ) f[i] = i;
for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
{
scanf("%s" , str + 1);
for(j = 1 ; j <= m ; j ++ )
{
switch(str[j])
{
case ‘L‘: link(id[i][j] , id[i][j - 1]); break;
case ‘R‘: link(id[i][j] , id[i][j + 1]); break;
case ‘U‘: link(id[i][j] , id[i - 1][j]); break;
case ‘D‘: link(id[i][j] , id[i + 1][j]); break;
default: v[id[i][j]] = ++p , wx[p] = i , wy[p] = j;
}
}
}
if(flag) puts("0");
else
{
memset(a , 0 , sizeof(a));
for(i = 1 ; i <= p ; i ++ )
{
a[i][i] += 4;
a[i][v[find(id[wx[i]][wy[i] - 1])]] -- ;
a[i][v[find(id[wx[i]][wy[i] + 1])]] -- ;
a[i][v[find(id[wx[i] - 1][wy[i]])]] -- ;
a[i][v[find(id[wx[i] + 1][wy[i]])]] -- ;
}
for(i = 1 ; i <= p ; i ++ )
for(j = 1 ; j <= p ; j ++ )
a[i][j] = (a[i][j] + mod) % mod;
for(i = 1 ; i <= p ; i ++ )
{
for(j = i ; j <= p ; j ++ )
if(a[i][j])
break;
if(j > p) continue;
if(j != i)
{
d ^= 1;
for(k = i ; k <= p ; k ++ )
swap(a[i][k] , a[j][k]);
}
ans = ans * a[i][i] % mod;
t = pow(a[i][i] , mod - 2);
for(j = i ; j <= p ; j ++ ) a[i][j] = a[i][j] * t % mod;
for(j = i + 1 ; j <= p ; j ++ )
for(t = a[j][i] , k = i ; k <= p ; k ++ )
a[j][k] = (a[j][k] - a[i][k] * t % mod + mod) % mod;
}
for(i = 1 ; i <= p ; i ++ ) ans = ans * a[i][i] % mod;
if(d) ans = (mod - ans) % mod;
printf("%lld\n" , ans);
}
}
return 0;
}