杜教筛&套路总结

Posted 2021-01-22 emiya-wjk

杜教筛

[ egin{split} (g*f)(i)&=sum_{d|i}g(d)f(frac id)\\Rightarrow g(1)S(n)&=sum_{i=1}^n(g*f)(i)-sum_{i=2}^ng(i)S(frac ni) end{split} ]

其中，(S(x))为(f())的前缀和。

套路一：(mu)

由((1*mu)=e)，取(g(x)=1)。
[ egin{split} S(n)=1-sum_{i=2}^nS(frac ni) end{split} ]

可以用线性筛预处理一部分(mu)的前缀和，剩下的用杜教筛记忆化搜索即可。

int Smu(int x){
    if(x<=M)return mu[x];
    if(smu[x])return smu[x];
    int ret=1;
    for(int l=2,r=0;r!=x;l=r+1){
        r=x/(x/l);
        ret-=1ll*(r-l+1)*Smu(x/l);
    }
    return smu[x]=ret;
} 

例题

【CQOI2015】选数

【BZOJ3944】Sum

套路2：(varphi)

由((1*varphi)=Id)，取(g(x)=1)。
[ S(n)=frac {n cdot (n+1)}2-sum_{i=2}^nS(frac ni) ]

LL Sphi(int x){
    if(x<=M)return phi[x];
    if(sphi[x])return sphi[x];
    LL ret=1ll*x*(1ll*x+1)/2;
    for(int l=2,r=0;r!=x;l=r+1){
        r=x/(x/l);
        ret-=1ll*(r-l+1)*Sphi(x/l);
    }
    return sphi[x]=ret;
} 

例题

【BZOJ4805】欧拉函数求和

【BZOJ3944】Sum