数论学习笔记2之杜教筛初探（含例题练习）

Posted 2022-02-09 cqust_qilin02811

杜教筛

• 前言
• 一、前置知识
• • 0.初等数论基础
  • 1.杜教筛解决什么问题？
  • 2. 积性函数与线性筛求积性函数
  • 3.狄利克雷卷积
  • 4.整除分块
• 二、杜教筛
• • 1.式子推导
  • 2.例题
  • • 2.1 例题一
    • • 2.1.1 问题分析
      • 2.1.2 代码实现
      • 2.2.1 式子推导：
    • 2.2 $$id\ast \mu =\phi 的证明$$
    • 2.3 继续推导
    • 2.4 代码实现
• 三、总结

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前言

实际上本次例题涉及的杜教筛不麻烦，麻烦的是例题的式子的推导与变换，后续更新其他例题，陆续更新博客内容~

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涉及前置知识点：线性筛求积性函数，整除分块，积性函数的性质，狄利克雷卷积

一、前置知识

0.初等数论基础

整除、质数、约数、算术基本定理，详见博客：数论学习笔记-初等数论基础

1.杜教筛解决什么问题？

解决积性函数求前缀和的问题，它可以在非线性时间内求积性函数前缀和。为什么要使用杜教筛？不能用线性筛筛积性函数吗？
答：线性筛只适用于1e8以下的求积性函数前缀和问题，因为复杂度是O(n),而当n>1e9时，就会超时，而杜教筛可以解决n = 1e11的积性函数求前缀和问题，杜教筛算法的时间复杂度是$$O(n^{\frac{2}{3}})$$

2. 积性函数与线性筛求积性函数

积性函数：对于任意互质的整数 a,b有 f(a×b)=f(a)×f(b)的数论函数。

完全积性函数：对于任意整数 a,ba,b 有 f(a×b)=f(a)×f(b)的数论函数。

常见的积性函数:
$$\begin{gathered} \mu ,\phi ,ϵ,id,I,\delta ,d \\ \mu :莫比乌斯函数 \\ \phi :欧拉函数 \\ ϵ：单位元函数 \\ id:单位函数 \\ I:恒等函数 \\ \delta :约数和函数 \\ d:约数个数函数，也叫除数函数 \end{gathered}$$
线性筛求积性函数详见博客：数论学习笔记之积性函数与筛法求积性函数

3.狄利克雷卷积

​狄利克雷卷积满足交换律和结合律

结合狄利克雷卷积得到的几个积性函数之间性质：
$$\begin{gathered} \mu \ast I=ϵ\ast I=I\ast I=d \\ \phi \ast I=id\ast I=\delta \end{gathered}$$

4.整除分块

详情见另一篇博客：整除分块笔记1

二、杜教筛

1.式子推导

这里给出杜教筛的式子推导：
$$\begin{array}{rl}& 令h=f\ast g,g为要求的函数\\ & 适用条件，如果\sum _{i=1}^{n}h(i)好求，\sum _{i=1}^{n}f(i)也好求\\ & 那么\sum _{i=1}^{n}g(i)就好求。\\ & 令H(n)=\sum _{i=1}^{n}h(i)=\sum _{i=1}^n(f\ast g)(i)\\ & 令S(n)=\sum _{i=1}^{n}g(i)\\ & (1)根据迪利克雷卷积定义：\\ & 有H(n)=\sum _{i=1}^n(f\ast g)(i)=\sum _{i=1}^n\sum _{d|i}f(d)g(\frac{i}{d})\\ & =\sum _{i=1}\\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \end{array}$$

●杜教筛入门(BZOJ 3944 Sum)

浅谈杜教筛

模板杜教筛（Sum）

[积性函数杜教筛莫比乌斯函数入门]学习总结

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