noip考前抱佛脚 数论小总结

Posted 2021-01-18 tyher

exCRT

• 求解韩信点兵问题，常见的就是合并不同(mod)。
• 先mo一发高神的板子

for(R i=2;i<=n;++i){
    ll Y1,Yi,lcm=Lcm(p[i],p[1]);
    exgcd(p[1],p[i],a[i]-a[1],Y1,Yi);
    add(a[1],mul(p[1],Y1,lcm),lcm),p[1]=lcm;
}

• 思想是合并方程组，现在假设我们要求解的是：
  [x-p_0*y_0=a_0][x-p_i*y_i=a_i]
• (x)是实际的值，显然有：
  [p_0*y_0-p_i*y_i=a_i-a_0]
• 是(exgcd)的形式，把(y_0)和(y_i)解出来。
• 此时[p_0*y_0 = a_i-a_0 mod p_i]
• 所以让(y_0)对(p_i)取模，回代到[x=p_0*y_0+a_0]
• 此时(x)是在(mod p_i*p_0)意义下，取模后便是新的(a_0)了。

• 最后更新(p_0)

• excrt就是把(p_0*=p_i)改成(p_0=lcm(p_0,p_i))罢了。

• 模板

BSGS

• 拔山盖世？

• 求

  [y^x≡z mod p]

• 设(x=i*m-j)，其中(m=sqrt p+1)则

  [y^j*z≡y^{i*m}]

• 枚举(j)，把对应的(y^j*z)放在(hash)表里。或者也可以用(map)
• 注意这个时候的(j)要取最大值，从小往大枚举直接附值即可。
• 枚举(i)，查对应的(y^{i*m})，如果有值，答案就是(i*m-j)了。
• 复杂度(O(sqrt p))
• 注意前提条件(gcd(y, p) = 1)

• 如果(y mod p==0)，则无解。

• (upd on 11.7)
• 首先有个模板题P4454 [CQOI2018]破解D-H协议

• 注意到

  [y^j*z≡y^{i*m}]

• 这个东西中(i*m-jge 0)恒成立，所以在预处理时要(j)要从(0)开始到(m)，但是查表的时候(i)要从(1)开始到(m)。

  同余最短路

• 用一些数去拼凑出给定的数。
• 以最小值建立剩余系，令(f_i)表示在拼凑出长度(mod)最小值为(i)的最小花费。
• 显然每一个(f_i)都是这个剩余系中的最小值，且相互独立。
• 连边后做最短路即可。
• 不能拼凑出的最大值即位(max(f_i-w_0))，(w_0)是剩余系模数。
• [x] HDU 6071 Lazy Running
• 给出四个点1，2，3，4，1和2，2和3，3和4，4和1之间有路相连，现在从2点出发，最后回到2点，要求路径大于等于(K)，问路径长度最短是多少，(Kleq 10^{18},dleq 3*10^4)。
• 同余最短路套路了，取一条与(2)相连的权值最小的边(w)。
• 若存在一条从起点到终点的长度为k的路径，那么必然存在一条长度为(k+2w)的路径。
• 即只要一开始在那条边上往返走就好了。
• 设(d_{i,j})表示从起点到(i)，路径长度模(2w)为(j)时，路径长度的最小值。

• 然后(dij)预处理(d)，最后枚举所有剩余系，如果大于等于(K)就恰好更新答案，否则补上剩下除以(2*w)向上取整数。

  exgcd

• 求解(a*x+b*y=c)的最小特解。
• 注意在某些题目中要判断是否有解（裴蜀定理）。

• 设(f=gcd(a,b,c))，有一些题目中(x=0)要还原成(b)，但是此时应该要还原成(frac {b}{gcd})，这样才能保证最小正整解。

  卢卡斯定理

• 处理计算组合时取模数特别小的时候，往往小于(n,m)。

• 对于质数而言，
  [C_n^m=C_{n mod p}^{m mod p }*C_{n/p}^{m/p }]

  裴蜀定理

• (a*x+b*y=c)成立的充要条件是(gcd(a,b)|c).

  组合计数

• 这不是计数里面的东西吗咕咕。

  线性筛逆元

• 假设现在要求(inv_i)，那么
• 有(x*i+j=p)，此时(j=p mod i)，(x=frac {p}{i})
• 在(p)剩余系下，那么(inv_i=-1*x*inv_j)

• 所以(inv(i)=-inv(p mod i)*(p/i))

  三分法

• 咕咕。

  高斯消元

• 我采用的是高斯约旦消元法。
• 先找到系数最大的点提到当前行，然后消为(1)，在把其他所有行的这一列消为(0)。
• 这样就省去了回带的过程。
• 无解情况：所有系数全为0但是值不为0
• 不唯一解情况：所有系数全为0值也为0

• 注意要先判断无解再判断解不唯一。