noip2017考前基础复习——数论数学

Posted 2020-10-13 秋千旁的蜂蝶~

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了noip2017考前基础复习——数论数学相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

·最大公约数 gcd

辗转相除法 gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

1 int gcd(int x,int y){
2     if(y==0) return x;
3     return gcd(y,x%y);    
4 }

效率O(logn)

·最小公倍数 lcm

可由最大公约数推来 lcm(a,b)=a*b/gcd(a,b)

1 int lcm(int x,int y){
2     int p=gcd(x,y);
3     return a*b/p;
4 }

效率O(logn)

·扩展欧几里得 extgcd

求ax+by=gcd(a,b)的整数对(x,y)

也可由gcd推过来

推导过程：

ax+by=gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

假设求出 bx‘+(a%b)y‘=gcd(b,a%b)

那么整理可得 bx‘+(a-(a/b)*b)y‘=gcd(b,a%b)

ay‘+b(x‘-(a/b)*y‘)=gcd(b,a%b)=gcd(a,b)

故 x=y‘ y=x‘-(a/b)*y‘

1 int extgcd(int a,int b,int &x,int &y){ //返回值为gcd(a,b)
2     if(b==0) {
3         x=1;y=0;
4         return a;
5     }
6     int d=extgcd(b,a%b,y,x);
7     y-=(a/b)*x;
8     return d;
9 }

可用于求同余方程、逆元

效率O(logn)

·素数筛

线性筛法，很好理解

由于每个合数都只会被筛掉一次，复杂度O(n)

 1 void Get_Prime(int n){
 2     p[0]=p[1]=0;
 3     cnt=0;
 4     for(int i=2;i<=n;i++) p[i]=1;  //先标记2~n都为素数
 5     for(int i=2;i<=n;i++){
 6         if(p[i]) prime[++cnt]=i;  //i为素数
 7         for(int j=1;j<=cnt && (long long)i*prime[j]<=n;j++){
 8             p[i*prime[j]]=1;  //每个合数都只被自己最小质因子筛掉
 9             if(i%prime[j]==0) break;
10         }
11     }
12 }

·欧拉函数 phi

求小于n与n互素的数的个数

phi[i]=i*(1-1/p1)*(1-1/p2)*(1-1/p3)…… 其中p1,p2,p3为i的质因数

可以在线性筛素数的同时求，复杂度O(n)

 1 void get_phi(){
 2     p[0]=p[1]=0;cnt=0;
 3     for(int i=2;i<=n;i++) p[i]=1;
 4     for(int i=2;i<=n;i++){
 5         if(p[i]==1) phi[i]=i-1,prime[++cnt]=i;
 6         for(int j=1;j<=cnt && (ll)i*prime[j]<=n;j++){
 7             p[i*prime[j]]=0;
 8             if(i%prime[j]==0) {
 9                 phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
10                 break;    
11             }
12             phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
13         }
14     } 
15 }

·快速幂

可以把幂想成一个二进制数来理解

1 int Power_Mod(int x,int y){  //求x的y次方
2     int ret=1;
3     while(y){
4         if(y&1) ret*=x;
5         x=x*x;
6         y>>=1;
7     }
8     return ret;
9 }