二项式反演及其证明

Posted 2021-01-18 sdzwyq

二项式反演及其证明

有一类问题是这样的:你可以推出<=i的方案数,你想求出恰好i的方案数
设<=i的方案数为a(i),恰好为i的方案数为b(i)
有[a(n)=sum_{i=0}^ninom{n}{i}b(i)]
相当于知道a(n),要求b(n)
二项式反演:[b(n)=sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}inom{n}{i}a(i)]
证明:
[b(n)=sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}inom{n}{i}a(i)]
[=sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}inom{n}{i}sum_{j=0}^iinom{i}{j}b(j)]
[=sum_{i=0}^nsum_{j=0}^i(-1)^{n-i}inom{n}{i}inom{i}{j}b(j)]
[=sum_{j=0}^nsum_{i=j}^n(-1)^{n-i}inom{n}{i}inom{i}{j}b(j)]
由于[inom{n}{i}inom{i}{j}=inom{n}{j}inom{n-j}{i-j}]
原式[=sum_{j=0}^nsum_{i=j}^n(-1)^{n-i}inom{n}{j}inom{n-j}{i-j}b(j)]
考虑这一坨[inom{n}{j}sum_{i=j}^n(-1)^{n-i}inom{n-j}{i-j}]
当j=n时,该式=1
否则为0
于是原式[=b(n)],得证.