二项式反演

Posted 2022-06-23 morning-glory

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表达

若有\(f(n)=\sum_i=0^n\binomnig(i)\)
则有\(g(n)=\sum_i=0^n(-1)^n-i\binomnif(i)\)

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证明

\(\beginalignedg(n)&=\sum_i=0^n(-1)^n-i\binomnif(i)\\ &=\sum_i=0^n(-1)^n-i\binomni\sum_j=0^i\binomijg(j)\\ &=\sum_i=0^n\sum_j=0^i(-1)^n-i\binomni\binomijg(j)\\ &=\sum_j=0^n\sum_i=j^n(-1)^n-i\binomni\binomijg(j)\\ \endaligned\)
在组合数中，有这么一个式子
\(\beginaligned\binomij\binomjk &= \fraci!j!(i - j)!\fracj!k!(j - k)! \\ &=\dfrac i!k!\left( i-k\right) !\dfrac \left( i-k\right) !\left( i-j\right) !\left( j-k\right) !\\ &=\dfrac i!k!\left( i-k\right) !\dfrac \left( i-k\right) !\left( \left( i-k\right) -\left( j-k\right) \right) !\left( j-k\right) !\\ &=\beginpmatrix i \\ k \endpmatrix\beginpmatrix i-k \\ j-k \endpmatrix\endaligned\)
即
\(\beginaligned\binomij\binomjk=\beginpmatrix i \\ k \endpmatrix\beginpmatrix i-k \\ j-k \endpmatrix\endaligned\)
所以
\(\beginaligned原式&=\sum_j=0^n\sum_i=j^n(-1)^n-i\binomnj\binomn-ji-jg(j)\\ &=\sum_j=0^n\sum ^n-j_i=0\left( -1\right) ^n-i-j\beginpmatrix n \\ j \endpmatrix\beginpmatrix n-j \\ i \endpmatrixg(j)\\ &=\sum_j=0^n\left(1-1\right)^n-j\beginpmatrix n \\ j \endpmatrixg\left(j\right) \endaligned\)
此时要求\(n != j\)，此时\(原式=0\)
当\(n=j\)时，\(原式=g(n)\)

到此，原式得证

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