[CODE FESTIVAL 2016 Final]G - Zigzag MST——MST

Posted 2021-01-17 ylsoi

题面在这里

思路：

如果直接去连边然后跑最小生成树的话，不难发现边数是(O(nq))级别的。
于是我们可以观察一下这一张图：

不难发现每次添加的边是相邻的两个点之间互相连边，并且很重要的是，边权一次一次地变大。
考虑Kruskal的过程，如果有两条边((u_1,v_1,w_1),(u_2,v_2,w_2))，并且(w_1<w_2)，那么可以肯定的是，在考虑第二条边的时候，第一条边的两个点一定已经在一个连通块里面了。
再考虑一下Prim的过程，不难发现对于一个未加入当前连通块的点，我们关心的只是这个点离连通块的最小距离，这个时候它自己本身与哪个点相连已经不重要了。
于是整个算法的大致思路已经出来了，对于一组连续的边((a,b,w_1),(b,c,w_2),w_1<w_2)，由于a,b之前一定在一个连通块内，所以第二条边可以改为((a,c,w_2))。
不难发现这样重新连边之后所有的边都是这样的形式((a,a+1,w))，于是我们开一个数组记录下来，之后再递推一遍便可以得到环上的那(O(n))条边了。之后再做一遍Kruskal即可。

#include<bits/stdc++.h>

#define REP(i,a,b) for(int i=a,i##_end_=b;i<=i##_end_;++i)
#define DREP(i,a,b) for(int i=a,i##_end_=b;i>=i##_end_;--i)
#define debug(x) cout<<#x<<"="<<x<<endl
#define fi first
#define se second
#define mk make_pair
#define pb push_back
typedef long long ll;

using namespace std;

void File(){
    freopen("gkk.in","r",stdin);
    freopen("gkk.out","w",stdout);
}

template<typename T>void read(T &_){
    T __=0,mul=1; char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){
        if(ch=='-')mul=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch))__=(__<<1)+(__<<3)+(ch^'0'),ch=getchar();
    _=__*mul;
}

const int maxn=2e5+10;
const int maxm=1e6+10;
int n,q,m;
ll f[maxn];
struct edge{
    int u,v;
    ll w;
    bool operator < (const edge & ano) const {
        return w<ano.w;
    }
}E[maxm];

namespace Kruskal{
    ll ans;
    int fa[maxn];
    int find(int x){return fa[x]==x ? x : fa[x]=find(fa[x]);}
    void work(){
        REP(i,0,n-1)fa[i]=i;
        sort(E+1,E+m+1);
        REP(i,1,m){
            int u=E[i].u,v=E[i].v;
            if(find(u)==find(v))continue;
            fa[find(u)]=find(v);
            ans+=E[i].w;
        }
        printf("%lld
",ans);
    }
}

int main(){
    File();
    read(n); read(q);
    memset(f,63,sizeof(f));
    int u,v; ll w;
    REP(i,1,q){
        read(u),read(v),read(w);
        E[++m]=(edge){u,v,w};
        f[u]=min(f[u],w+1);
        f[v]=min(f[v],w+2);
    }
    REP(i,0,2*n-1){
        int pre= !(i%n) ? n-1 : i%n-1;
        f[i%n]=min(f[i%n],f[pre]+2);
    }
    REP(i,0,n-1){
        int nex=(i+1)%n;
        E[++m]=(edge){i,nex,f[i]};
    }
    Kruskal::work();
    return 0;
}