[CODE FESTIVAL 2016 Exhibition A]Distance Pairs

Posted 2021-01-10 jefflyy

题意：有一个未知的边权为$1$的图，给定所有点到$1$的最短路$a_i$和到$2$的最短路$b_i$，问是否存在这样的图，如果存在，问图中最少有多少条边

先考虑$a_i$，有$a_1=0,a_i eq0(i eq1)$，对于一条边$(x,y)$有$|a_x-a_y|leq1$，对于任意$x eq1$，存在$(x,y)$使得$a_x-1=a_y$，对$b_i$也有类似的约束

所以，我们将点$i$作为$(a_i,b_i)$画在平面上，那么至少要有两条边：第一条连到$(a_i-1,b_i-1)$或$(a_i-1,b_i)$或$(a_i-1,b_i+1)$，第二条连到$(a_i-1,b_i-1)$或$(a_i,b_i-1)$或$(a_i+1,b_i-1)$，如果这时找不到可以连边的点，那么就无解了（点$1$不用连第一种边，点$2$不用连第二种边）

如果可以连，那么我们构造出了一个有$2n-2$条边的图，显然这个图是满足条件的

但我们要最小化图中边数，所以考虑寻找尽可能多的可以共用的边

以下我们将第一种边称为$a$边，第二种边称为$b$边，共用边只可能是两种情况：1.对于点$i$，存在$(a_i-1,b_i-1)$，此时$i$的$a$边和$b$边可以共用；2.存在$i,j$使得$a_i-1=a_j,b_i+1=b_j$，此时$i$的$a$边可以和$j$的$b$边共用

我们把这$2n-2$条边看成点，如果两条边可以共用，在代表它们的点之间连一条边，求最大匹配即可，虽然是一般图，但注意到只有那些满足$a_i+b_i$相等的点$i$引出的边才可能共用，所以建出来的图是这样的（图来自官方题解）

图中框代表某个坐标$(a_i,b_i)$上的点，红点代表$b$边，蓝点代表$a$边，如果方框内有连边说明存在$(a_i-1,b_i-1)$

这种分层图可以从左上往右下贪心选边求最大匹配，实现时只需维护每个坐标的未匹配点个数即可

总时间复杂度为$O(nlog n)$，感觉这题还是不错的

#include<stdio.h>
#include<map>
using namespace std;
map<int,map<int,int> >mp,vis;
int a[100010],b[100010];
bool ex(int x,int y){
	return mp.count(x)&&mp[x].count(y);
}
int main(){
	int n,i,j,s,las,now;
	scanf("%d",&n);
	#define wa {puts("-1");return 0;}
	for(i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d%d",a+i,b+i);
		if(i!=1&&a[i]==0)wa
		if(i!=2&&b[i]==0)wa
		mp[a[i]][b[i]]++;
	}
	for(i=1;i<=n;i++){
		if(i!=2){
			if(!(ex(a[i]-1,b[i]-1)||ex(a[i],b[i]-1)||ex(a[i]+1,b[i]-1)))wa
		}
		if(i!=1){
			if(!(ex(a[i]-1,b[i]+1)||ex(a[i]-1,b[i])||ex(a[i]-1,b[i]-1)))wa
		}
	}
	s=0;
	for(i=1;i<=n;i++){
		if(!ex(a[i]-1,b[i]+1)&&!vis[a[i]][b[i]]){
			vis[a[i]][b[i]]=1;
			las=0;
			for(j=0;ex(a[i]+j,b[i]-j);j++){
				now=mp[a[i]+j][b[i]-j];
				s+=min(las,now);
				now-=min(las,now);
				if(ex(a[i]+j-1,b[i]-j-1)){
					s+=now;
					now=min(las,mp[a[i]+j][b[i]-j]);
				}else
					now=mp[a[i]+j][b[i]-j];
				las=now;
			}
		}
	}
	printf("%d",2*n-2-s);
}