$Self~Problem~C~:~Samsara$

Posted 2021-01-16 yeasio-nein

题目背景：

在这个(Canman)界的人都知道，世界上最伟大的修道者 —— (Felling)，曾经结束了(Canman)的无垠盏之灾，守护了(Canman)的和平。在无垠盏之灾的最后，近神的(Felling)正在和堕入魔道的修道者，无垠灾的始作俑者(Neyii)进行最后的对峙。掌握着轮回之力的他，可以逆向流逝轮回，造成外爆内敛的奇点爆炸，比一般的爆炸要强悍数倍。

题目描述：

已知当前(Neyii)张开魔疆，把(Felling)包围了进去。(Felling)在魔疆中实力受到大幅的限制，甚至连时间和空间之力都被禁止了。但是魔疆是一把双面刃，包围了(Felling)的同时，(Neyii)也将自己的经络暴露在了(Felling)的面前。(Felling)知道这样下去自己终将陨落，所以打算孤注一掷，利用自己的轮回之力，引爆(Neyii)的经络！

已知当前(Neyii)的经络图由成百上千的穴位和经脉链接而成，经脉负责联通各个穴位。习武之人皆知，经脉内运气的流动是单向的，否则将会导致运气冲突，经脉爆裂的严重后果。如果引爆一个穴位，那么以这个穴位为起点的经脉都会报废。而如果一个穴位没有任何经脉流入供应，那么这个穴位就会进入闭脉状态，使(Felling)无法对其催动奇点爆炸。而(Felling)所引爆的穴位所蕴含的能量都将返还(Felling)。现在(Felling)所能释放奇点爆炸的次数已经不多了，他想在至多(K)次爆炸内，获得尽量多的能量。当然不一定要用完(K)次爆炸。题目不保证没有环， 但保证没有重边。保证权值不为负数,没有自环。

输入格式：

第一行，三个正整数(N, M, K)表示穴位数和经脉数和最多的爆炸次数。

第二行，(N)个整数(Data[i])，分别表示第(i)号穴位的能量。

下面(M)行，每行三个正整数，(X, Y)表示从(X)到(Y)有一条单向流动的经脉。

输出格式：

一行，一个整数，表示最多能获得的能量数。

输入样例 ：

7 7 3
10 2 8 4 9 5 7
1 2
1 3
1 4
2 5
3 6
3 7
4 7

输出样例：

24

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数据大小：

对于(10)%的数据，(1 leq N leq 10, 1 leq M leq 20)。

对于另外(30)%的数据，经络图无环。

对于另外(10)%的数据，有且只有一个点的入度为(0)。

对于(100)%的数据:(1 leq N leq 10000)， (1 leq M leq 500003)， (1 leq K leq 100003)

所有边权(leq 1000)

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首先简化一下题面：

你现在有一张(N)个点(M)条边的一般有向图，你可以造成至多(K)次点上的爆炸，每次爆炸都可以获得这个点的点权。爆炸之后所有以这个点为起点的出边都会报废。如果一个点没有入边，那么不可以实施爆炸。请求最大化点权和。

首先我们考虑一张有向无环图。

你可以发现，假如你现在想要引爆(Now_1)和(Now_2)，如果(Now_2)是从(Now_1)来的，那么我们一定是先引爆(Now_2)，然后引爆(Now_1)获得的价值更大。

比如上图的(3和)(6)节点，如果我想要引爆这两个节点，那么我一定先引爆(6)，因为如果我先引爆(3)，那么会导致(6)不能被引爆。

而如果(Now_1)和(Now_2)是类似于一种“并列关系”的话，就不用彼此考虑。就比如(3)和(4)。

所以我们可以发现这个(DAG)上除了入度为(0)的那些点以外，其它的点我们都可以选。因为总有一种合法顺序可以让我们选完所有的点。因此(DAG)上我们只要删去所有入度为(0)的点，然后排序(For)到(K)即可。(30)分到手。

那么我们来考虑下图这种情况。

我们可以发现，如果我们从(4)开始引爆，那么(4)后引爆(3)，(3)后引爆(2)，(2)之后只剩了一个(1)没有引爆。当然换一个起点也是一样的。所以说，我们只需要舍弃一个点，那么其它的点都是可以被选中的。那么我们当然删去最小的点。

那么转而来看一般有向图。

我们发现这个情况下，原来的({1, 2, 3, 4})环都可以选了，因为多了一个入边({5 - > 1})，那么我们发现({1, 2, 3, 4})就可以看做是一个点。

那么得出算法：对于每一个强连通分量：

如果该强联通分量有入度，那么这个强联通分量里面的所有的点都可以选择。

如果该强联通分量没有入度，那么去掉一个点之后，其余的所有的点都可以选择。

所以算法流程如下：

1. 缩点
2. 对于每一条边，如果从(SCC_1)跑到了(SCC_2)，那么认为(SCC_2)有入度，标记(Flag[SCC_2] = 1)
3. (for)所有的(SCC_i),若(Flag[SCC_i] == 1)那么将该(SCC)里面的所有点加入数组。否则去掉里面点权最小的点，然后将其余的点加入数组。
4. 对于上面说的那个数组，用(nth\_element)排序前(K)大，然后计算点权和。

---

算法实际上是一个比较奇妙的贪心。

---

标程：

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <queue>
#include <cmath>
#include <map>
#define For1(i, A, B) for(register int i = (A), i##_end_ = (B); i <= i##_end_; ++ i)
#define For2(i, A, B) for(register int i = (A), i##_end_ = (B); i >= i##_end_; -- i)
#define MEM(Now, K) memset(Now, K, sizeof(Now))
#define CPY(Now, K) memcpy(Now, K, sizeof(Now))
#define Debug(Now) (cerr << Now << endl)
#define Min(A, B) (A < B ? A : B)
#define Max(A, B) (A < B ? B : A)
#define SCPY(A, B) strcpy(A, B)
#define Inf 0x7fffffff
#define RE register
#define IL inline
#define MAXN 100010
#define MAXM 500010
#define _X first
#define _Y second
using namespace std ;

typedef unsigned long long ULL ;
typedef pair<long long, int>  PLI;
typedef pair<int, int> PII;
typedef unsigned int UINT;
typedef long double LDB;
typedef long long LL ;
typedef double DB ;

IL int Read(){
    LL X = 0, F = 1 ;  char ch = getchar() ;
    while(ch < '0' || ch > '9'){ if(ch == '-') F = - 1 ; ch = getchar() ; }
    while(ch <= '9' && ch >= '0') X = (X << 1) + (X << 3) + (ch ^ 48), ch = getchar() ;
    return X * F ;
}
IL double DBRead(){
    double X = 0, Y = 1.0 ; LL W = 0 ; char ch = 0 ;
    while(! isdigit(ch)) { W |= ch == '-' ; ch = getchar() ; }
    while(isdigit(ch)) X = X * 10 + (ch ^ 48), ch = getchar() ;
    ch = getchar();
    while(isdigit(ch)) X += (Y /= 10) * (ch ^ 48), ch = getchar() ;
    return W ? - X : X ;
}
IL void Print(/*LL*/ LL X){
     if(X < 0) putchar('-'), X = - X ;
     if(X > 9) Print(X / 10) ; putchar(X % 10 + '0') ;
     //cout << endl ;
     //cout << " " ;
}
LL N, M, K, Data[MAXN], Ans ;
struct Node{
    LL From, To, Next ;
}Edge[MAXM] ;
LL Head[MAXN], Total ;
void Add(LL F, LL T){
    Total ++ ;
    Edge[Total].From = F ;
    Edge[Total].To = T ;
    Edge[Total].Next = Head[F] ;
    Head[F] = Total ;
}
LL Dfn[MAXN], Low[MAXN], Deep, Cnt, Flag[MAXN] ;
LL Stack[MAXN], Insta[MAXN], Top ;
LL Belong[MAXN], Est[MAXN], MIN[MAXN] ;
LL Finally[MAXN], All ;
void Tarjan(LL Now){
    Dfn[Now] = Low[Now] = ++ Deep ;
    Stack[++ Top] = Now ; Insta[Now] = 1 ;
    for(LL i = Head[Now]; i; i = Edge[i].Next){
        if(! Dfn[Edge[i].To]){
            Tarjan(Edge[i].To) ;
            Low[Now] = min(Low[Now], Low[Edge[i].To]) ;
        }   else if(Insta[Edge[i].To])
            Low[Now] = min(Low[Now], Dfn[Edge[i].To]) ;
    }
    if(Low[Now] == Dfn[Now]){
        Cnt ++ ; LL Pass ;
        do{
            Pass = Stack[Top --] ;
            if(Est[Cnt] > Data[Pass])
                MIN[Cnt] = Pass, Est[Cnt] = Data[Pass] ;
            Belong[Pass] = Cnt ;
            Insta[Pass] = 0 ;

        }while(Now != Pass) ;
    }
}
bool CMP(LL X, LL Y){
    return X > Y ;
}
int main() {
    freopen("samsara.in", "r", stdin) ;
    freopen("samsara.out", "w", stdout) ;
    N = Read(), M = Read(), K = Read() ;
    memset(Est, 127, sizeof(Est)) ;
    for(LL i = 1; i <= N; i ++)
        Data[i] = Read() ;
    for(LL i = 1; i <= M; i ++){
        LL F = Read(), T = Read() ;
        Add(F, T) ;
    }
    for(LL i = 1; i <= N; i ++)
    if(! Dfn[i]) Tarjan(i) ;
    for(LL i = 1; i <= M; i ++){
        if(Belong[Edge[i].From] != Belong[Edge[i].To])
            Flag[Belong[Edge[i].To]] = 1 ;
    }
    for(LL i = 1; i <= Cnt; i ++)
        if(! Flag[i])
            Data[MIN[i]] = - 1 ;
    for(LL i = 1; i <= N; i ++){
        if(Data[i] == -1) continue ;
        Finally[++ All] = - Data[i] ;
    }
    nth_element(Finally + 1, Finally + K + 1, Finally + All + 1) ;
    for(LL i = 1; i <= K; i ++)
        Ans +=  - Finally[i] ;
    printf("%lld", Ans) ;
    fclose(stdin) ; fclose(stdout) ;
    return 0 ;  
}