[TJOI2015]概率论[卡特兰数]

Posted 2021-01-14 yqgakioi

题意

(n) 个节点二叉树的叶子节点的期望个数。

(nleq 10^9) .

分析

• 实际询问可以转化为 (n) 个点的不同形态的二叉树的叶子节点总数。

• 定义 (f_n) 表示 (n) 个节点的二叉树的个数， (g_n) 表示 (n) 个节点的不同形态的二叉树的叶子节点总数。

• 设一棵 (n) 个节点的树有 (m) 个叶子节点，每删去一个叶子节点都可以得到一棵大小为 (n-1) 的二叉树，考虑每个大小为 (n-1) 的二叉树，共有 (n) 个叶子节点，会被 (n) 棵大小为 (n) 的树考虑叶子贡献。

• 得到 (g_n=frac{n*f_{n-1}}{f_n})。

• (f_n) 是卡特兰数的第 (n) 项。

• 化简之后答案为(frac{n(n+1)}{4n-2}) .

代码

#include<cstdio>
using namespace std;
double x;
int main(){
   scanf("%lf",&x);
   printf("%.9lf
",(x*(x+1)/2/(2*x-1)));
   return 0;
}