「TJOI2015」概率论 题解
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了「TJOI2015」概率论 题解相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
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这篇题解就只是在翻译rqy的做法（
这题如果要从代数意义去推导的话很烦而且很难，所以考虑组合意义
设 (f_n) 为大小为 (n) 的不同二叉树数量，(g_n) 为大小为 (n) 的不同二叉树数量的叶子节点之和，答案显然就是 (frac{g_n}{f_n})，(f_n) 就是我们非常熟悉的卡特兰数了，考虑 (g_n) 怎么去做
设一棵大小为 (n) 二叉树的叶子节点为 (k) 个，如果将这 (k) 个叶子节点中的任何一个删去，就可以得到 (k) 个大小为 (n-1) 的二叉树。倒着考虑，任何一个大小为 (n-1) 的二叉树只要添加一个叶子节点就能给 (g_n) 增加大小为 (1) 的贡献，并且这两句话的本质相同。
那么考虑大小为 (n-1) 的二叉树有多少种添加叶子节点的方式。
在此之前讲一些初赛内容：
假定一棵二叉树的大小为 (n)，有 (a) 个节点有两个儿子，有 (b) 个节点有一个儿子，有 (c) 个节点是叶子节点
显然有 (egin{cases} a+b+c=n ① \ 2a+b=n-1 ② end{cases})
解释 ② 式：除了根节点以外，每个节点都有父亲，所以我们看有多少个节点是作为儿子，②式就显然成立。
(2 imes ①-② Rightarrow b+2c=n+1)
发现 (b+2c) 就是我们要求的可以添加叶子节点的方案数（有 (b) 个节点有一个空着的地方可以放叶子节点，(c) 个节点有两个空着的地方可以放叶子节点），即 (n+1)
那么每一个大小为 (n-1) 的二叉树有 (n) 种添加叶子节点的方式。
因为每一种添加叶子节点的方式都可以给 (g_n) 贡献 1，那么 (g_n=f_{n-1} imes n)
既然 (g_n) 推导出来了，那么 (frac{g_n}{f_n}) 推导出来也是显然的了，答案就是 (frac{n imes (n+1)}{2 imes (n-1)})
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