算法的时间复杂度比较，计算多项式的直接法和秦九韶法

Posted 2021-01-13 hi3254014978

1.直接法：

1 double Polynomial_1(int n, double a[], double x)
2 {
3     int i;
4     double sum = 0;
5     for (i = 0; i < n; i++)
6         sum += a[i] * pow(x, i);
7     return sum;
8 }

每次循环迭代，pow函数内部都会执行i次乘法，然后一次加法，所以整体的算法复杂度为O = 1/2 * n ^ 2 + 3/2n，尽管pow函数的实现方法是利用递归优化后的，但是算法复杂度还是达到了O(nlogn)

2.秦九韶法：

1 double Polynomial_2(int n, double a[], double x)
2 {
3     int i;
4     double sum = 0;
5     for (i = n; i > 0; i--)
6         sum = a[i - 1] + x * sum;
7     return sum;
8 }

它不断提取公因式x来减少乘法的运算次数，算法复杂度为O(n);

下面介绍一个测试运行时间的函数

clock()函数可以捕捉从程序开始运行到clock()被调用时所打下的点数，在要测试的函数前后各放置一个clock()函数，利用两个clock()函数即可计算出执行一个函数所打下的点数，CLK_TCK(或者是CLOCKS_PER_SEC)是一个常量，表示一个机器时钟每秒钟所打下的点数，简单计算后即可得到测试函数的运行时间，但是因为一个函数的运行时间是在是太短了，短到时钟还来不及打下下一个点函数就运行结束了，所以我们让被测函数重复循环多次执行，即可得到特定次数下的运行时间，被测函数的运行时间的比较就可以实现了。

 1 void run(double(*f)(int, double*, double), double a[], int case_n)
 2 {
 3     //此函数用于测试被测函数（*f)的运行时间，并且根据case_n输出相应的结果
 4     //case_n是输出的函数编号，1代表Polynomial_1, 2代表Polynomial_2
 5     int i;
 6     start = clock();                //开始计时
 7     for (i = 0; i < MAXK; i++)        //重复调用函数已获得充分多的时钟打点数
 8         (*f)(MAXN, a, 1.1);
 9     stop = clock();                    //结束计时
10     duration = ((double)(stop - start)) / CLK_TCK;        //计算运行时间
11     printf("ticks %d = %f
", case_n, (double)(stop - start));
12     printf("duration 1 = %6.2e
", duration);
13 }

下面是主函数，设置了多项式的各项系数

 1 #include <stdio.h>
 2 #include <time.h>
 3 #include <math.h>
 4 
 5 clock_t start, stop;
 6 double duration;        //记录被测函数运行的时间，以秒为单位
 7 #define MAXN 10            //多项式最大项数，最大项数加1
 8 #define MAXK 1e4    //被测函数最大重复调用次数
 9 
10 int main()
11 {
12     int i;
13     double a[MAXN];
14     for (i = 0; i < MAXN; i++)    //设置多项式的各项系数
15         a[i] = (double)i;
16 
17     run(Polynomial_1, a, 1);
18     run(Polynomial_2, a, 2);
19     return 0;
20 
21 }

根据MAXK设置不同的值，让被测函数重复循环执行相应的次数，实验结果如下

10^4:  10^5:  

10^6:   10^7:

由实验结果可以看出，秦九韶算法几乎都比普通算法快一个数量级