CF570E Pig and Palindromes

Posted 2021-01-13 czxingchen

完全不会这种类型的$dp$啊……

考虑回文串一定是可以拆分成（偶数个字母 + 偶数个字母）或者（偶数个字母 + 一个字母 +偶数个字母），两边的偶数个字母其实是完全对称的。因为这道题回文串的长度是给定的$n + m$，所以回文串的类型也是确定的。

发现直接$dp$不好转移，我们可以把走的步数拆成两半，从$(1, 1)$开始走$(n + m) / 2$步，从$(n, m)$开始走$(n + m) / 2$步，然后在中间相遇就可以计算答案，这样子只要每一次走到相同的格子就可以转移了。

我们先设计出一个暴力的状态就是$f_{stp, xa, ya, xb, yb}$表示走了$stp$步，从$(1, 1)$开始走到$(xa, ya)$，从$(n, m)$开始走到$(xb, yb)$的方案数。

显然空间炸了。

观察一下发现了$stp$这一维可以滚掉，而当$stp$确定时，只要知道了$xa$和$xb$就可以计算出$ya$和$yb$，具体计算过程可以自己$yy$一下。

最后统计答案的时候要注意讨论$(n + m)$的奇偶性。

时间复杂度$O(n^3)$。

Code：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N = 505;
const ll P = 1e9 + 7;

int n, m;
ll f[2][N][N];
char mp[N][N];

template <typename T>
inline void inc(T &x, T y) {
    x += y;
    if(x >= P) x -= P;
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
/*    scanf("%d", &n);
    m = n;   */
    for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%s", mp[i] + 1);

    if(mp[1][1] != mp[n][m]) return puts("0"), 0;

    f[1][1][n] = 1LL;
    for(int s = 2; s <= (n + m) / 2; ++s) {
        int now = s & 1, pre = (s - 1) & 1;
        memset(f[now], 0LL, sizeof(f[now]));

        for(int xa = 1; xa <= s; ++xa)
            for(int xb = n; xb >= n - s + 1; --xb) {
                int ya = s + 1 - xa, yb = n + m + 1 - s - xb;
                if(xa > xb || ya > yb) continue;
                if(mp[xa][ya] != mp[xb][yb]) continue;
                inc(f[now][xa][xb], f[pre][xa][xb]);
                inc(f[now][xa][xb], f[pre][xa - 1][xb]);
                inc(f[now][xa][xb], f[pre][xa][xb + 1]);
                inc(f[now][xa][xb], f[pre][xa - 1][xb + 1]);
            }
    }

    ll ans = 0LL; int cur = ((n + m) / 2) & 1;
    if((n + m) % 2 == 1) {
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            inc(ans, f[cur][i][i]);
            inc(ans, f[cur][i][i + 1]);
        }
    } else {
        for(int i = 1; i <= n; i++) 
            inc(ans, f[cur][i][i]);
    }

    printf("%lld
", ans);
    return 0;
}

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