大整数乘法

Posted 2021-01-12 zuofaqi

问题

对于两个很大的整数相乘，比如，两个数的位数都是1024, c语言表示不了这么大的数。不过我们可以使用分治法来求它们的乘积。

解决

不失一般性，两个数A 和 B都是n位，n是2的幂次。如果不满足这个条件，可以通过补0操作，使它们满足。

A: 

a1

a2

 

B:

b1

b2

 

则A*B 可以写为：

A*B = (a1*10^n/2 + a2) * (b1*10^n/2 + b2)
　　= a1*b1*10^n + (a1*b2+a2*b1)*10^n/2 + a2*b2

如果只转换到这个地步，那这个算法的时间复杂度还是挺高的

递推关系式为：T(n) = 4T(n/2) + O(n), 因为分解后，有4个不同的乘法运算

计算后，时间复杂度是 O(n^2)

 

我们还可以继续优化。a1*b1*10^n + (a1*b2+a2*b1)*10^n/2 + a2*b2，这个式子中，a1*b2+a2*b1 可以使用 a1*b1和 a2*b2 来表示。

a1*b2+a2*b1 = (a1-a2)*(b2-b1) + a1*b1 + a2*b2

这样，A*B 可表示为：

a1*b1*10^n + ((a1-a2)*(b2-b1) + a1*b1 + a2*b2)*10^n/2 + a2*b2

这里面有3个不同的乘法。加减运算的时间复杂度为 O(n)

递推关系式为：T(n) = 3T(n/2) + O(n)

时间复杂度为：O(n^log3) = O(n^1.59)