题解-AtCoder-agc006C Rabbit Exercise

Posted 2021-01-11 penth

Problem

AtCoder & bzoj

题意：数轴上有(n)个点（初始坐标均为整数），编号为(1)~(n)。给出(m)个操作。
每个操作会选定点(a)，然后随机在点(a-1)和点(a+1)中选一个，将点(a)以选中的点为中心做对称，将这(m)个操作按顺序执行(k)遍（(1)~(m)完整执行一次算(1)遍），求最终每个点的位置的期望值

Solution

不难发现根据期望的线性型，在(a-1)和(a+1)之间随机选一个进行对称操作的期望等价于在(a-1)和(a+1)的中点处进行对称

则我们发现，对于点(B)在点(A)和(C)之间，若(A)到(B)距离为(a)，若(B)到(C)距离为(b)，则对称后的位置(B‘)与(A)距离为(b)，与(C)距离为(a)（如下图）

发现如果我们用一个差分数组(d_i=a_{i+1}-a_i)存下(a_i)数组的话，对称操作相当于交换(d_i,d_{i+1})

发现进行一轮操作后，整个序列会成为若干个对换环（一个对换环相当于将整个环旋转一格再重新赋值），而进行(k)次操作相当于将所有环旋转(k)格

发现如果整个环的大小为(c)，则环旋转(k)次和旋转(kmod c)次是等价的，则复杂度与(k)无关，整体复杂度(O(n+m))

Code

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cctype>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define rg register

template <typename _Tp> inline _Tp read(_Tp&x){
    char c11=getchar(),ob=0;x=0;
    while(c11^‘-‘&&!isdigit(c11))c11=getchar();if(c11==‘-‘)ob=1,c11=getchar();
    while(isdigit(c11))x=x*10+c11-‘0‘,c11=getchar();if(ob)x=-x;return x;
}

const int N=101000;
int a[N],vis[N],st[N];
ll b[N],p[N],k;
int n,m,tp;

void init();void work();void print();
int main(){init();work();print();return 0;}

void work(){
    int x;
    for(rg int i=1;i<=m;++i)read(x),swap(a[x],a[x+1]);
    for(rg int i=1;i<=n;++i)if(!vis[i]){
        vis[st[0]=x=i]=tp=1;
        while(!vis[a[x]])
            vis[st[tp++]=x=a[x]]=1;
        int e=k%tp;
        for(rg int j=0;j<tp;++j)
            b[st[j]]=p[st[j+e<tp?j+e:j+e-tp]];
    }
}

void print(){
    ll sm(0ll);
    for(rg int i=1;i<=n;++i)
        printf("%lld
",sm+=b[i]);
}

void init(){
    read(n);
    for(rg int i=1;i<=n;++i)read(p[i]),a[i]=i;
    for(rg int i=n;i;--i)p[i]-=p[i-1];
    read(m),read(k);
}