AT2164 AGC006C Rabbit Exercise

Posted 2022-02-01 juanzhang

AT2164 AGC006C Rabbit Exercise

数轴上有 \\(n\\) 个点，每个点的坐标为 \\(a_i\\) 。一轮操作包含 \\(m\\) 次变换，第 \\(i\\) 次将 \\(b_i(1<b_i<n)\\) 随机跳到点关于 \\(b_i-1\\) 或 \\(b_i+1\\) 的对应点。求 \\(k\\) 轮操作后每个点的期望位置

\\(n,\\ m\\leq10^5,\\ k\\leq10^18,\\ |a_i|\\leq10^9\\)

期望，差分，倍增

---

假设点 \\(a_i\\) 变换后坐标为 \\(x\\) ，则 \\(\\fraca_i+x2=a_i-1\\) 或 \\(a_i+1\\) ，即 \\(x=2a_i-1-a_i\\) 或 \\(2a_i+1-a_i\\) ，两式相加得 \\(x=a_i-1+a_i+1-a_i\\) ，即为变换后坐标期望值。

考虑类似题目 CF1110E Magic Stones 的做法，将原序列差分得到 \\(c_i\\) ，可以发现对 \\(a_i\\) 的变换相当于交换了 \\(c_i,\\ c_i+1\\)

可以发现 \\(k\\) 轮操作相对顺序不影响答案，由于变换两次相当于变换一次后再变换一次，变换四次相当于变换两次后再变换两次，于是可以考虑倍增

可以 \\(O(n)\\) 求出一轮操作后差分数组的排列，倍增的预处理可以用排列完成

时间复杂度 \\(O(k\\log n)\\)

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int maxn = 1e5 + 10;
ll k, a[maxn];
int n, m, data[maxn], pos[61][maxn];

int main() 
  scanf("%d", &n);
  for (int i = 1; i <= n; i++) 
    scanf("%lld", a + i), data[i] = i;
  
  scanf("%d %lld", &m, &k);
  for (int i = 1, x; i <= m; i++) 
    scanf("%d", &x);
    swap(data[x], data[x + 1]);
  
  for (int i = 1; i <= n; i++) 
    pos[0][i] = data[i];
  
  for (int i = 1; i < 61; i++) 
    for (int j = 1; j <= n; j++) 
      pos[i][j] = pos[i - 1][pos[i - 1][j]];
    
  
  for (int i = 1; i <= n; i++) 
    data[i] = i;
  
  for (int p = 60; ~p; p--) 
    if (k >> p & 1) 
      for (int i = 1; i <= n; i++) 
        data[i] = pos[p][data[i]];
      
    
  
  static int c[maxn];
  for (int i = 1; i <= n; i++) 
    c[i] = a[i] - a[i - 1];
  
  for (int i = 1; i <= n; i++) 
    a[i] = a[i - 1] + c[data[i]];
    printf("%lld\\n", a[i]);
  
  return 0;