递归原来可以so easy

Posted 2021-01-11

引子

从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚，老和尚在给小和尚讲故事，故事讲的是从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚，老和尚在给小和尚讲故事，故事讲的是从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚，老和尚在给小和尚讲故事，故事讲的是从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚，老和尚在给小和尚讲故事，故事讲的是从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚，老和尚在给小和尚讲故事，故事讲的是......

这个例子，如果用java程序来演示，会是这个样子：

public class Hello {
    public static void main(String[] args) {
        sayStory();       
    }

    static void sayStory(){
        System.out.println("从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚，老和尚在给小和尚讲故事，故事讲的是");
        sayStory();
    }   
}

程序运行结果：

故事在一直讲下去。

看一下java代码中，在方法sayStory()中又调用了sayStory()。

递归概述

什么是递归

　　递归，英文为Recursion， 在计算机科学中，递归指得是在函数的定义中使用函数自身。
递归，包含了两个意思：递 和 归。递是只传递下去，归是指归来，也就是说，递归有去也有回。
那么，上面的讲故事的程序，算递归程序吗？
在方法sayStory()中又调用了sayStory()，符合递归的一个条件，即传递，但是，这个程序，没有归来，所以，程序会一直运行下去，直到资源耗尽，程序出错：

因此，这不是个完整的递归程序。
递归要素
首先，递归必须要申明一个函数，且在函数中调用自身。
另外，递归要有明确的终止条件，递归就是有去有回，必然有一个明确的重点，到达这个终点后，就不再往下递，而是开始往回归来。

递归的内涵

? 递归的核心思想，就是把规模大的问题转化为规模小的相似的子问题来解决。在函数实现时，因为解决大问题的方法和解决小问题的方法往往是同一个方法，所以就产生了函数调用它自身的情况，这也正是递归的定义所在。
考虑一下，递归的数学模型，很像数学归纳法。数学归纳法适用于将解决的原问题转化为解决它的子问题，而它的子问题又变成子问题的子问题。归纳法解决数学问题一般分为下面3个步骤：
1：步进表达式：问题演算成子问题的表达式
2：结束条件：什么时候可以不再使用步进表达式
3：求解表达式：在结束条件下能够直接计算返回值的表达式

比如，斐波那契数列，使用数学归纳法，3个步骤为：
1： 推导出计算表达式： F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)
2：结束条件：n=1,n=2时
3：求解表达式： F(1)=F(2)=1

递归的编程模型

　　 明确了递归的数学模型后，我们就要看，如果通过编程来实现递归。一般的，有两种编程模型：

模型一： 先处理问题，然后再往下传递
递归函数(大规模){
if (end_condition){ // 递归终止条件
end;
}else{
solve; // 处理问题
递归函数(小规模); // 分解问题规模，传递下去
}
}

模型二： 在归来的过程中处理问题
递归函数(大规模){

    if (end_condition){      // 递归终止条件
        end; 
}else{ 
    递归函数(小规模);  //分解问题规模，传递下去
        solve;            // 归来，处理问题
    }
}

下面，演示一下，使用递归的编程模型，解决斐波那契数列问题。
首先，需要什么一个函数，问题规模为n，问题的结果为一个整数。
则函数可以声明为：int fib(int n)
然后，确定终止条件： n=1,n=2时
3：求解表达式：
F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)
F(1)=1,F(2)=1

则代码如下：

案例演示

阶乘

阶乘n!的数学定义： n!=1234…..(n-1)n，并规定 1!=1。
因此，2!=21=2(1!)，3!=3(21)=3(2!)，
4!=4(321)=4(3!)
5!=5(4321)=54!
根据规律，可以推断出： n!=n*(n-1)!，这就是阶乘的递归公式。
并且可以明确递归的终止条件n=1,终止时的值为1。

下面，想一下，如何用java程序来实现呢？
递归函数原型，可以什么为：int factorial(int n);
则函数的递归调用表达式为： factorial(n)=n* factorial(n-1)

具体代码如下：

public class Hello {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        System.out.println("请输入n：");
        int n = sc.nextInt();
        int f = factorial(n);
        System.out.println("结果是：" + f);
    }

    static int factorial(int n) {
        if (n == 1)
            return 1;
        else
            return n * factorial(n - 1);
    }
}

更多案例，请看下一章节。

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