从O(n^3) 到 O(n)求最大连续和
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了从O(n^3) 到 O(n)求最大连续和相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
最大连续和问题:给出一个长度为n的序列A1, A2, A3,······ An,求最大连续和。或者这样理解:要求找到1≤i≤j≤n,使得Ai+ Ai+1 + ······ +Aj尽量大。
【分析】
这时候最容易想到的就是暴力枚举了,,,
代码如下:
1 for(int i=1; i<=n; i++) { 2 for(int j=i; j<=n; j++) { 3 int sum = 0; 4 for(int k=i; k<=j; k++) 5 sum += val[k]; 6 //Max = Max>sum? Max:sum; 7 if(sum > Max) { // 这里记录了下标, 若不需要的话可换成上面一句 8 Max = sum; 9 ii = i; 10 jj = j; 11 } 12 } 13 }
很显然,这是一个O(N^3) 的算法,理论n的最大范围为1000,实际上约为1400左右。
怎么优化呢,让我们来想想这个算法:设Si = A1 + A2 + A3 + ······ + Ai,则Ai+1 + Ai+2 + ······ + Aj = Sj - Si-1
其含义就是“连续子序列之和等于两个前缀和之差”,我们很容易写出以下代码:
1 ?memset(sum, 0, sizeof(sum)); 2 for(int i=1; i<=n; i++) sum[i] = sum[i-1] + val[i]; 3 for(int i=1; i<=n; i++) 4 for(int j=i; j<=n; j++) 5 Max = max(Max, sum[j]-sum[i-1]);
其时间复杂度为O(n^2),虽然少了一层循环,但复杂度还是很高
再想想能不能在优化了,O(nlogn)的算法有什么呢,,对了,就是分治
我们先将这个序列分成元素个数尽量相等的两半,求出完全位于左边或者完全位于右边的最佳序列,然后求出起点位于左边、终点位于右边的最大连续和序列,并和子问题的最优解比较。
代码如下:
1 ?int solve(int *val, int x, int y) { 2 if(y-x == 1) return val[x]; // 只有一个元素,返回 3 int m = x + (y-x) / 2; // 划分[x, m), [m, y) 4 int Max_S = max(solve(val, x, m), solve(val, m, y)); 5 int v, L, R; 6 v = 0; L = val[m-1]; 7 for(int i=m-1; i>=x; i--) L = max(L, v+=val[i]); 8 v = 0; R = val[m]; 9 for(int i=m; i<=y; i++) R = max(R, v+=val[i]); 10 return max(Max_S, L+R); 11 }
该算法是O(nlogn)的,已经能通过很大的数据了,但有没有更好的方法呢?
答案当然是有啦,比O(nlogn)还小的就是O(n)的算法啦,而且还不止一种:
1 ?int solve_1() { 2 int n; scanf("%d", &n); 3 int Now; scanf("%d", &Now); // 先读入第一个数 4 int Temp, Ans = Now; // 第一个数给 Ans 5 if(Now > 0) Temp = Now; // 如果第一个数是正的,则有价值维护 6 for(int i=2; i<=n; i++) { 7 scanf("%d", &Now); 8 Temp += Now; // 计算前 ?个连续元素和 9 if(Temp > Ans) Ans = Temp; // 出现了更优解,更新 10 if(Temp < 0) Temp = 0; // 如果过前面的和小于0了,就没有维护的价值了 11 } 12 printf("%d ", Ans); //输出答案 13 }
1 ?void solve_2() { 2 int Max = -99999, Ans[MAXN]; 3 memset(Ans, 0, sizeof(Ans)); 4 int n; scanf("%d", &n); 5 for(int i=1; i<=n; i++) { 6 int x; scanf("%d", &x); 7 Ans[i] = max(Ans[i-1]+x, x); // DP 8 Max = max(Max, Ans[i]); 9 } 10 printf("%d ", Max); 11 }
以上是关于从O(n^3) 到 O(n)求最大连续和的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章