[数学][欧拉降幂定理]Exponial

Posted 2021-01-11 smallocean

Exponial

题目

http://exam.upc.edu.cn/problem.php?cid=1512&pid=4

欧拉降幂定理：当b>phi(p)时，有a^b%p = a^(b%phi(p)+phi(p))%p

这题做的难受....看到题目我就猜到肯定用到欧拉降幂，然后就毫无目的地找规律。然后发现不同地取欧拉函数会变成0，然后内心毫无波动.....可能不怎么会递归

思路：当n>=6时，欧拉降幂定理一定适用，因为f(5)>1e9,也就是一定有欧拉降幂定理的b>phi(p)这个条件，所以f(n)%p=n^f(n-1)%p=n^(f(n-1)%phi(p)+phi(p))%p;再递归地求f(n-1)%phi(p)
当n<=5时，f(n)%p=n^f(n-1)%p,因为不一定有f(n-1)>phi(p)成立，所以不能用欧拉降幂定理求，直接手动求出f(n)%p即可；
从1e9递归到5很慢，但当p=1时，可以直接返回f(n)%p=0而不用递归到下一层;
AC代码：

#include <cstdio>
typedef long long ll;

ll phi(ll x){
    ll res=x;
    for(ll i=2; i*i<=x; ++i){
        if(x%i==0){
            res=res-res/i;
            while(x%i==0)x/=i;
        }
    }
    if(x>1)
        res=res-res/x;
    return res;
}
ll qpow(ll a,ll n,ll mod){
    ll res=1;
    while(n){
        if(n&1){
            res*=a;
            res%=mod;
        }
        n>>=1;
        a=(a*a)%mod;
    }
    return res;
}
ll solve(ll n,ll m)
{
    if(m==1) return 0;
    if(n==1) return 1;
    else if(n==2) return 2%m;
    else if(n==3) return 9%m;
    else if(n==4) return qpow(4,9,m);
    ll tem=phi(m);
    return qpow(n,solve(n-1,tem)+tem,m);
}
int main()
{
    //printf("%lld
",phi(1000000));
    ll n,m;
    while(scanf("%lld%lld",&n,&m)!=EOF){
        printf("%lld
",solve(n,m));
    }
    return 0;
}

好久没写博客.....自己太菜要努力鸭