欧拉函数&欧拉定理&降幂 总结

Posted 2021-01-13 cjoierljl

欧拉函数&欧拉定理&降幂 总结

欧拉函数

欧拉函数写做(varphi[x])，表示(0)到(x)中与(x)互质的数的个数
那么我们会有引理（对于素数(p)）：
[left{ egin{aligned} varphi[p]=p-1 --------------①\varphi[i*p]=p*varphi[i] (imod p==0)---②\varphi[i*p]=(p-1)*varphi[i] (imod p e0)---③ end{aligned} ight.]
据说还有一个总的公式：(varphi[n]=n*prod(1-dfrac{1}{a_i})) ((a_i)是(n)的质因子)

于是我们可以用线性筛素数的方法同时把欧拉函数筛出来
不会线性筛素数？那你把这个板子背了就会了。。。
笑哭.(jpg)
（去掉和(phi)数组有关的就是线性筛素数了）

void Prepare_Phi()
{
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=M;++i)
    {
        if(!phi[i])pri[++tot]=i,phi[i]=i-1;//①
        for(int j=1;j<=tot;++j)
        {
            if(i*pri[j]>M)break;
            if(!(i%pri[j]))
            {
                phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];//②
                break;
            }else phi[i*pri[j]]=phi[i]*(pri[j]-1);//③
        }
    }
}

欧拉定理

有了欧拉函数做坚实的后盾
讲欧拉定理就不用扯那些七里八里的东西了
一个公式：当(a,n)互质时[ a^{varphi(n)}equiv1(mod n) ]不知道怎么用对吧，那这样：
如果(a,n)互质，那么有 ( a^{varphi(n)}\%n==1)
也就是 $ a^{varphi(n)}$ 与 (n) 互质

最有用的？ (a^bequiv a^{b\%varphi(n)}(mod n))

PS：结合后面的扩展欧拉定理可以用作降幂，后面讲

扩展欧拉定理

嗯，一般扩展不就是把互质推广到所有情况嘛
行，如果上面那个式子里面(a,n)不互质了
[a^bequiv left{ egin{aligned} a^b (mod n) b<varphi(n)a^{b\%varphi(n)+varphi(n)}(mod n) bgeqvarphi(n) end{aligned} ight.]

降幂

根据上面两个定理的公式结合起来
[a^bequiv left{ egin{aligned} a^{b\%varphi(n)}(mod n) n,a互质a^b (mod n) b<varphi(n)a^{b\%varphi(n)+varphi(n)}(mod n) bgeqvarphi(n) end{aligned} ight.]其实我们完全可以不用用到第一个
思考一下
是不是对于一个问题求(a^b (mod n))
可以直接根据右边的条件把式子转换成上面三个中的一个
(yep)降幂成功
给个例题吧：洛谷P4139 上帝与集合的正确用法
代码你要吗？不要我也给你，虽然丑

#include<bits/stdc++.h>
#define lst long long
#define ldb double
#define N 10000050
#define M 10000000
using namespace std;
const int Inf=1e9;
int read()
{
    int s=0,m=0;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')m=1;ch=getchar();}
    while( isdigit(ch))s=(s<<3)+(s<<1)+(ch^48),ch=getchar();
    return m?-s:s;
}

int Q,tot;
int phi[N],pri[N];
void Prepare_Phi()
{
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=M;++i)
    {
        if(!phi[i])pri[++tot]=i,phi[i]=i-1;//①
        for(int j=1;j<=tot;++j)
        {
            if(i*pri[j]>M)break;
            if(!(i%pri[j]))
            {
                phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];//②
                break;
            }else phi[i*pri[j]]=phi[i]*(pri[j]-1);//③
        }
    }
}
lst qpow(lst x,lst y,lst mod)
{
    lst ret=1;
    while(y)
    {
        if(y&1)ret=ret*x%mod;
        x=x*x%mod,y>>=1;
    }return ret;
}
lst Solve(lst mod)
{
    if(mod==1)return 0;
    return qpow(2,Solve(phi[mod])+phi[mod],mod);
}

int main()
{
    Prepare_Phi();
    Q=read();
    while(Q--)
    {
        int p=read();
        printf("%lld
",Solve(p));
    }
    return 0;
}

那，讲完了啊。。。你以为能讲多少。。。
毕竟我是个菜鸡嘛