HDOJ6229Wandering Robots（马尔科夫链，set）

Posted 2021-01-10 myx12345

题意：给定一个n*n的地图，上面有k个障碍点不能走，有一个机器人从(0,0)出发，每次等概率的不动或者往上下左右没有障碍的地方走动，问走无限步后停在图的右下部的概率

n<=1e4，k<=1e3

思路：据说是找规律

　　    From https://blog.csdn.net/anna__1997/article/details/78494788　　牛逼的证明

　　　马尔科夫链的随机游走模型

• 可建立状态转移矩阵，对n * n 的图中n * n 个点编号为0 ~[ (n - 1) * n + n – 1] 设最大编号为max
  P = p(i, j) = [p(0, 0) p(0, 1) … p(0, max)
  P(1, 0) p(1, 1) … p(1, max)
  …
  P(max, 0) p(max, 1) … p(max, max)]
  π(i) 为i时间各点的概率
  π(n + 1) = π(n) * P
  当时间->无穷 π(n + 1)->π
  可以通过 π * P = π 计算
  验证猜测结果正确
  *******************************************************
  找规律的答案 有待证明
  现在能想到的是 整个封闭系统每个格子以出现机器人的概率作为权值 在很长的时间线上是一个熵增的
  过程(想到元胞自动机)，如果要模拟这个概率扩散的过程的话，格子的权值的更新是一个用他所能到达的格子的权值
  和他自身的权值迭代的过程，这个过程中可以发现他的相邻的格子的权值是在不断同化的，因此，在无穷远后
  (0, 0)的和他周围的格子的权值不在体现优势，而更加开放的格子则更占优(可根据迭代公式理解)
  

  *******************************************************

  考虑每个障碍点对答案的影响，找规律后的得到只与障碍点所在的位置与周围的联通情况有关

  判格子是不是障碍可以用set

   1 #include<cstdio>
   2 #include<cstring>
   3 #include<string>
   4 #include<cmath>
   5 #include<iostream>
   6 #include<algorithm>
   7 #include<map>
   8 #include<set>
   9 #include<queue>
  10 #include<vector>
  11 using namespace std;
  12 typedef long long ll;
  13 typedef unsigned int uint;
  14 typedef unsigned long long ull;
  15 typedef pair<int,int> PII;
  16 typedef vector<int> VI;
  17 #define fi first
  18 #define se second 
  19 #define MP make_pair
  20 #define N   11000
  21 #define M   210
  22 #define MOD 1e9+7
  23 #define eps 1e-8 
  24 #define pi acos(-1)
  25 int dx[]={0,-1,1,0,0},dy[]={0,0,0,-1,1};
  26 set<int>st;
  27 
  28 
  29 int read()
  30 { 
  31    int v=0,f=1;
  32    char c=getchar();
  33    while(c<48||57<c) {if(c==‘-‘) f=-1; c=getchar();}
  34    while(48<=c&&c<=57) v=(v<<3)+v+v+c-48,c=getchar();
  35    return v*f;
  36 }
  37 
  38 int gcd(int x,int y)
  39 {
  40     if(y==0) return x;
  41     return gcd(y,x%y);
  42 }
  43 
  44 int main()
  45 {
  46     //freopen("hdoj6229.in","r",stdin);
  47     //freopen("hdoj6299.out","w",stdout);
  48     int cas;
  49     scanf("%d",&cas);
  50     for(int v=1;v<=cas;v++)
  51     {
  52         st.clear();
  53         int n,m;
  54         scanf("%d%d",&n,&m);
  55         for(int i=1;i<=m;i++)
  56         {
  57             int x,y;
  58             scanf("%d%d",&x,&y);
  59             st.insert(x*N+y);
  60         }
  61         int s1=n*n*5-n*4;
  62         int s2=n*(n+1)/2*5-2*n-2;
  63         set<int>::iterator t=st.begin();
  64         while(t!=st.end())
  65         {
  66             int s=*t;
  67             int x=s/N;
  68             int y=s%N;
  69             for(int i=1;i<=4;i++)
  70             {
  71                 int tx=x+dx[i];
  72                 int ty=y+dy[i];
  73                 if(tx<0||tx>=n||ty<0||ty>=n||st.count(tx*N+ty)) continue;
  74                 s1--;
  75                 if(tx+ty>=n-1) s2--;
  76             }
  77             
  78             if(x+y>=n-1)
  79             {
  80                 s2-=5;
  81                 if(x==0||x==n-1) s2++;
  82                 if(y==0||y==n-1) s2++;
  83             }
  84             
  85             s1-=5;
  86             if(x==0||x==n-1) s1++;
  87             if(y==0||y==n-1) s1++;
  88              t++;
  89         }
  90         
  91         int k=gcd(s1,s2);
  92         printf("Case #%d: %d/%d
  ",v,s2/k,s1/k);
  93     }    
  94     return 0;
  95 }
  96