LCA 模板

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了LCA 模板相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

关于LCA:

  LCA 指树上两点的公共祖先。

如何 “暴力” 找两点的 LCA :

  可以先 DFS 一遍求出每个点的 dep (深度)。然后从深度大的点先往上跳,跳到与另一个点相同的深度,如果还没有到达相同的,就两个点一起往上跳,直到达到相同的点,那么,这个点就是两点的 LCA 。

关于倍增法求 LCA :

  其实就是一个经过优化的暴力算法。让两个点一次向上跳多步来优化时间。

如何实现倍增求 LCA :

  设 f [ u ][ k ] 表示 u 的 2k 辈祖先,即从 u 向根节点走 2k 步到达的节点。特别地,若该节点不存在,则令 f [ u ][ k ] = 0 。f [ u ][ 0 ] 就是 x 的父节点。因为 u 向根节点走 2k ⇔ 向根节点走 2k-1 步,再走 2k-1 步。所以对于 k∈ [ 1,logn ] ,有 f [ u ][ k ] = f [ f [ u ][ k-1 ] ][ k-1 ]。

  f 数组利用了递推的思想。递推式为: f [ u ][ k ] = f [ f [ u ][ k-1 ] ][ k-1 ]。因此,我们可以对树进行遍历 DFS ,由此得到 f [ u ][ 0 ],再计算出 f 数组的所有值。(预处理的期望复杂度为 O(nlogn))。

  在预处理完之后可以多次对不同的 x,y 计算 LCA ,每次询问的时间复杂度为 O(logn)。

  基于 f 数组(假装已经预处理)计算 LCA( x, y ) 分为以下几步:

  ①设 dep [ x ] 表示 x 的深度。那么设 dep [ x ] ≥ dep [ y ] 。(否则,可交换 x, y )

  ②利用二进制拆分的思想,把 x 向上调整到与 y 同一的深度。

  即:依次尝试从 x 向上走 k = 2logn… 21,20 步,若到达的点比 y 深,则令 x = f [ x ][ k ]。

  ③若此时的 x = y ,则说明已经找到了 LCA ,两点的 LCA 就等于 y 。

  ④若此时的 x ≠ y ,那么 x, y 同时向上调整,并保持深度一致且二者不会相会。

  具体来说就是,依次尝试把 x, y 同时向上走 k = 2logn… 21,20 步,若 f [ x ][ k ] ≠ f [ y ][ k ](即仍未相会),则令 x = f [ x ][ k ],y = f [ y ][ k ]。

  ⑤此时 x,y 必定只差一步就相会了,他们的父节点 f [ x ][ 0 ] 就是 LCA。

倍增求 LCA 的伪代码:

预处理:

inline void Deal_first(int u,int fa)
{
    dep[u]=dep[fa]+1;//深度+1 
    for(int i=0;i<=19;i++)//2^0 ~ 2^19 
        f[u][i+1]=f[f[u][i]][i];//递推公式,上面讲过了。
    for(int i=head[u];i;i<=t[i].nex)//前向星遍历(相当于dfs) 
    {
        int v=t[i].to;//记录子节点 
        if(v==fa) continue;//防止倒退(因为是无向边) 
        f[v][0]=u;//子节点向上跳一步就是父节点 
        Deal_first(v,u);//v-子节点,u-父节点 
    }
}

查询 x,y 的 LCA:

inline int LCA(int x,int y)
{
    if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);//让x深度较大
    //用“暴力”的思想:先让x,y跳到同一深度,然后一起往上跳 
    for(int i=20;i>=0;i--)//倒着for,x能多跳尽量多跳 ,才能优化时间 
    {
        if(dep[f[x][i]]>=dep[y]) x=f[x][i];//先跳到同一层 
        if(x==y) return y;
    }
    for(int i=20;i>=0;i--)//此时x,y已跳到同一层 
    {
        if(f[x][i]!=f[y][i])//如果 f[x][i]和f[y][i]不同才跳 
        {
            x=f[x][i];
            y=f[y][i];
        }
    }
    return f[x][0];//跳完上述步骤后,两点离LCA仅一步之遥,让x(或y)再向上跳一步就是LCA。 
}

倍增求LCA的板子题

题目描述:

  如题,给定一棵有根多叉树,请求出指定两个点直接最近的公共祖先。

输入输出格式:

输入格式:

  第一行包含三个正整数 N、M、S,分别表示树的结点个数、询问的个数和树根结点的序号。

  接下来 N-1 行每行包含两个正整数 x、y,表示 x 结点和 y 结点之间有一条直接连接的边(数据保证可以构成树)。

  接下来 M 行每行包含两个正整数 a、b,表示询问 a 结点和 b 结点的最近公共祖先。

输出格式:

  输出包含 M 行,每行包含一个正整数,依次为每一个询问的结果。

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<string>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<stack>
#include<deque>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<fstream>
using namespace std;
#define maxn 501000
int n,m,s;
int dep[maxn<<1];
int f[maxn<<1][21];
int head[maxn<<1],cnt=0;
struct hh
{
    int nex,to;
}t[maxn<<1];
inline void add(int nex,int to)
{
    t[++cnt].nex=head[nex];
    t[cnt].to=to;
    head[nex]=cnt;
}
inline void Deal_first(int u,int fa)
{
    dep[u]=dep[fa]+1;
    for(int i=0;i<20;i++)
        f[u][i+1]=f[f[u][i]][i];
    for(int i=head[u];i;i=t[i].nex)
    {
        int v=t[i].to;
        if(v==fa) continue;
        f[v][0]=u;
        Deal_first(v,u);
    }
return;
}
inline int LCA(int x,int y)
{
    if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
    for(int i=20;i>=0;i--)
    {
        if(dep[f[x][i]]>=dep[y]) x=f[x][i];
        if(x==y) return x;
    }
    for(int i=20;i>=0;i--)
    {
        if(f[x][i]!=f[y][i])
        {
            x=f[x][i];
            y=f[y][i];
        }
    }
    return f[x][0];
}
inline int read()
{
    int kr=1,xs=0;
    char ls;
    ls=getchar();
    while(!isdigit(ls))
    {
        if(!(ls^45))
            kr=-1;
        ls=getchar();
    }
    while(isdigit(ls))
    {
        xs=(xs<<1)+(xs<<3)+(ls^48);
        ls=getchar();
    }
    return xs*kr;
}
int main()
{
    int x,y;
    n=read();m=read();s=read();//n个节点,m个询问,以s为根节点 
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        x=read();y=read();
        add(x,y);
        add(y,x);//添加无向边 
    }
    Deal_first(s,0);//以点s为根节点预处理 f 数组 
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        x=read();y=read();
        printf("%d
",LCA(x,y));
    }
return 0;
}

 

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