bzoj4300 绝世好题（位运算+DP）

Posted 2021-01-10 gaxc

为什么要写这道题呢？因为它是“绝世好题”。

 

题意：给定n个数，在其中找出一段子序列b，使得b[i]&b[i-1]!=0，求出满足条件的最长子序列长度。

 

输入：第一行：一个整数n，表示数列的个数。

           第二行：n个整数，表示数列a。

 

输出：一行，一个整数，表示最长的子序列长度。

 

输入样例：

3
1 2 3

 

输出样例：

2

 

解析：若b[i]&b[i-1]!=0，即b[i]与b[i-1]在二进制下有一位相同且都为1。那么设dp[i]表示前i个数所能达到的最长子序列长度，那么在转移时只需枚举是从二进制下的第几位转移过来的便好了。由于在转移时还要枚举是从哪个位置转移过来的，所以时间复杂度为o(n^2log(n))，但由于每次进行转移时是在前面的状态中找一个最大的，所以显然可以用堆进行优化，时间复杂度(o(nlog(n)^2))。（这题其实有o(nlog(n))的做法，而且大家好像都是这么写的，可我做的时候没想到（果然我还是菜！））。

 

代码如下：

 1 #include<cstdio>
 2 #include<vector>
 3 #include<queue>
 4 using namespace std;
 5 
 6 const int MAXN=100010;
 7 int n,a[MAXN],dp[MAXN],ans;
 8 vector <int> ve[MAXN];
 9 priority_queue <int> heap[33];
10 
11 int read(void) {
12     char c; while (c=getchar(),c<‘0‘ || c>‘9‘); int x=c-‘0‘;
13     while (c=getchar(),c>=‘0‘ && c<=‘9‘) x=x*10+c-‘0‘; return x;
14 }
15 
16 void solve(int x,int p) { //预处理出二进制下1的个数 
17     int bit=0;
18       while (x>0) {
19           bit++;
20           if (x&1) {
21               ve[p].push_back(bit);
22           }
23           x>>=1;
24       }
25 }
26 
27 int main() {
28     n=read();
29       for (int i=1;i<=n;++i) a[i]=read();
30       for (int i=1;i<=n;++i) solve(a[i],i);
31       for (int i=1;i<33;++i) heap[i].push(0);
32       for (int i=1;i<=n;++i) {
33           for (int j=0;j<ve[i].size();++j) {
34               int u=ve[i][j];
35               dp[i]=max(dp[i],heap[u].top()+1); //从堆中取出一个最大的进行转移 
36           }
37         for (int j=0;j<ve[i].size();++j) //将这一个状态加入堆中 
38           heap[ve[i][j]].push(dp[i]);
39       }
40       for (int i=1;i<=n;++i) //找出最长的子序列 
41         for (int j=0;j<ve[i].size();++j) ans=max(ans,dp[i]);
42     printf("%d",ans);
43     return 0;
44 }