复杂度分析（下）：浅析最好最坏平均均摊时间复杂度

Posted 2021-01-10 hardyyao

时间复杂度分析有哪些？

• 最好情况时间复杂度（best case time complexity）
• 最坏情况时间复杂度（worst case time complexity）
• 平均情况时间复杂度（average case time complexity）
• 均摊时间复杂度（amortized time complexity）

最好、最坏情况时间复杂度

最好情况时间复杂度就是在最理想的情况下，执行这段代码的时间复杂度。

最好情况时间复杂度就是在最糟糕的情况下，执行这段代码的时间复杂度。

来看看下面这段代码：

1 // n 表示数组 array 的长度
2 int find(int[] array, int n, int x) {
3   int i = 0;
4   int pos = -1;
5   for (; i < n; ++i) {
6     if (array[i] == x) {
7        pos = i;
8        break;
9     }
10   }
11   return pos;
12 }

上面这段代码要实现的功能是：在一个数组中查找变量 x 出现的位置，如果找到了，就马上跳出循环，返回它的位置值；如果找不到，就返回 -1。

这里不能只是看到了 for 循环就判定其时间复杂度为 O(n)，因为这个数组的顺序是不确定的，有可能数组中的第一个元素就是 x，那就可以马上结束循环了，其时间复杂度就是 O(1)；如果数组中不存在变量 x 或者是数组中的最后一个元素才是 x，那就需要遍历整个数组，时间复杂度就是 O(n)。

在这里，O(1) 就是最好情况时间复杂度，O(n) 就是最坏情况时间复杂度。

平均情况时间复杂度

最好、最坏情况时间复杂度都是极端情况下的代码复杂度，发生的概率很小。因此，我们还需要知道平均情况时间复杂度。

还是以刚刚查找变量 x 的位置的例子为例，要查找的变量 x 在数组中的位置，总共有 n+1 种情况：在数组的 0~n-1 位置中和不在数组中。我们把每种情况下，查找需要遍历的元素个数累加起来再除以 n+1，就可以得到需要遍历的元素个数的平均值，即：

1 + 2 + 3 + …… + n + n / n + 1 = n(n+1)+2n / 2(n+1) = n(n+3) / 2(n+1)

省略掉系数、低阶、常量，将以上公式进行简化之后，得到的平均时间复杂度就是 O(n)。

但是，以上的 n+1 种情况，出现的概率也不是一样的。这里可以引入概率论的相关知识，假设变量 x 在数组中与不在数组中的概率各为 1/2，出现在 0~n-1 这 n 个位置的概率都是 1/n。根据概率乘法法则，要查找的数据出现正在 0~n-1 中任意位置的概率就是 1/(2n)。

这样，就可以得到以下计算过程：

1 x 1/2n + 2 x 1/2n + 3 x 1/2n + …… + n x 1/2n + n x 1/2n = n(n+1)+2n / 2 x 1/2n = 3n+1 / 4

这个值就是概率论中的加权平均值，也叫做期望值。

根据这个加权平均值，去掉系数和常量，我们得到的平均时间复杂度也是 O(n)。

所以，平均时间复杂度就是：加权平均时间复杂度（亦称为期望时间复杂度）。

大部分情况下，我们并不需要区分最好、最坏、平均三种复杂度，平均复杂度只在某些特殊情况下才用到。

均摊时间复杂度

均摊时间复杂度：对一个数据结构进行一组连续操作中，大部分情况下时间复杂度都很低，只有个别情况下时间复杂度较高。而且这些操作之间存在前后连贯的时序关系，在这个时候，我们可以将这一组操作放在一块儿分析，看是否能将较高时间复杂度那次操作的耗时，平摊到其他那些时间复杂度较低的操作上。（在能够应用均摊时间复杂度分析的场合，一般均摊时间复杂度就等于最好情况时间复杂度）

均摊时间复杂度的应用场景比平均时间复杂度更加特殊、更加有限。

举个例子：

1 // array 表示一个长度为 n 的数组
2 // 代码中的 array.length 就等于 n
3 int[] array = new int[n];
4 int count = 0;
5 
6 void insert(int val) {
7   if (count == array.length) {
8      int sum = 0;
9      for (int i = 0; i < array.length; ++i) {
10         sum = sum + array[i];
11      }
12      array[0] = sum;
13      count = 1;
14   }
15 
16   array[count] = val;
17   ++count;
18 }

这段代码实现的是往一个数组中插入数据的功能，当数组满了以后，也就是 count == array.length 的时候，我们用 for 循环遍历数组求和，再将新的数据插入，其时间复杂度为 O(n)。但如果数组未满，则直接将数据插入数组，其时间复杂度为 O(1)。

我们来分析一下它的时间复杂度，数组的长度为 n，根据数据插入的不同位置，可以分为 n 种情况，每种情况的时间复杂度为 O(1)。还有一种最“糟糕”的情况，那就是数组已满，这个时候的时间复杂度为 O(n)。而且，这 n+1 种情况发生的概率是一样的，都是 1/(n+1)。所以，根据加权平均的计算方法，可知：

1 x 1/n+1 + 1 x 1/n+1 + …… + 1 x 1/n+1 + n x 1/n+1 = 1

我们求得的平均时间复杂度就是：O(1)。

对比一下 insert() 的例子和前面 find() 的例子，这两个例子的最好、最坏情况时间复杂度都一样，为什么平均时间复杂度相差这么多呢？

这两个例子之间最大的区别在于：find() 的最好、最坏情况时间复杂度都是在极端情况下才会发生，而 insert() 在大部分情况下，时间复杂度都是 O(1)，只有在极端情况下，时间复杂度才是 O(n)。其次，对于 insert() 函数来说，每当碰到一个时间复杂度为 O(n) 的情况，接下来就会有 n-1 个 O(1) 的插入操作，循环往复。

均摊下来，这一组连续的操作的均摊时间复杂度就是 O(1)。这就是均摊时间复杂度分析的大致思路。

内容小结

最好、最坏情况时间复杂度分析起来比较简单，但平均、均摊时间复杂度分析相对比较复杂。

之所以分为这四种复杂度分析，是因为在不同输入的情况下，复杂度量级有可能是不一样的。