入门篇2 # 复杂度分析（下）：浅析最好最坏平均均摊时间复杂度

Posted 2023-01-13 凯小默

说明

【数据结构与算法之美】专栏学习笔记。

为什么引入这些时间复杂度

先看下面代码

//  n 表示数组 array 的长度
int find(int[] array, int n, int x) 
  int i = 0;
  int pos = -1;
  for (; i < n; ++i) 
    if (array[i] == x) 
       pos = i;
       break;
    
  
  return pos;

上面代码中如果没有 break；那么代码的时间复杂度就是 O(n)，但是代码的循环中存在提前退出循环的操作，普通的时间复杂度分析解决不了这个问题。为了表示代码在不同情况下的不同时间复杂度，就引入了最好、最坏、平均、均摊时间复杂度。

最好、最坏情况时间复杂度

• 最好情况时间复杂度：在最理想的情况下，执行代码的时间复杂度。
• 最坏情况时间复杂度：在最糟糕的情况下，执行代码的时间复杂度。

上面代码在最理想的情况下，查找的变量 x 正好是数组的第一个元素，时间复杂度就是 O(1)；在最糟糕的情况下，就是把整个数组都遍历一遍，时间复杂度就成了 O(n)。

平均情况时间复杂度

最好、最坏比较极端，为了更好地表示平均情况下的复杂度，引入了平均情况时间复杂度。

平均时间复杂度：又叫加权平均时间复杂度（或者期望时间复杂度），用代码在所有情况下执行的次数的加权平均值表示。

上面的代码中查找的变量 x 在数组中的位置，有 n+1 种情况：

• 在数组的 0～n-1 位置中：n 种
• 不在数组中：1 种

假设在数组中与不在数组中的概率都为 1/2，那么出现在 0～n-1 中任意位置的概率就是 1/(2n)。

根据下面等差数列的公式：

1+2+3+…+n = n(1+n)/2

可以快速计算出上面计算式等于(3n + 1)/4，推出平均时间复杂度为 O(n)。

大多数情况下，不需要区分最好、最坏、平均情况时间复杂度三种情况。只有同一块代码在不同的情况下，时间复杂度有量级的差距，才会使用这三种复杂度表示法来区分。

均摊时间复杂度

下面看一个往数组中插入数据的例子：当数组满了之后，也就是代码中的 count == array.length 时，用 for 循环遍历数组求和，并清空数组，将求和之后的 sum 值放到数组的第一个位置，然后再将新的数据插入。但如果数组一开始就有空闲空间，则直接将数据插入数组。这里均摊的话不止一次调用 insert 的，可以理解为有外循环。

int[] array = new int[n];
int count = 0;

void insert(int val) 
   if (count == array.length) 
      int sum = 0;
      for (int i = 0; i < array.length; ++i) 
         sum = sum + array[i];
      
      array[0] = sum;
      count = 1;
   

   array[count] = val;
   ++count;

最理想的情况下，数组中有空闲空间，时间复杂度为 O(1)；最坏的情况下，数组中没有空闲空间，需要遍历一遍，其时间复杂度为 O(n)。

根据数据插入的位置的不同，可以分为 n 种情况，每种情况的时间复杂度是 O(1)。另外一种在数组没有空闲空间时插入一个数据，时间复杂度是 O(n)。这样就有 n + 1 种情况：得到平均时间复杂度为 O(1)。

这里并不需要像之前的平均复杂度分析方法那样，找出所有的输入情况及相应的发生概率，然后再计算加权平均值。针对这种特殊的场景，就引入了一种更加简单的分析方法均摊时间复杂度，又叫摊还分析（或者叫平摊分析）。

均摊分析的大致思路：这里对于 insert() 函数来说，O(1) 时间复杂度的插入和 O(n) 时间复杂度的插入，出现的频率是非常有规律的，数组已经满了，也就是 O(n) 是无空闲的状态，每满一次就会清空数组，清空数组后重新开始写 n - 1 次才会进行下一次清空，每次写入的复杂度就是O(1)，有 O(n) 后接着 n - 1 个 O(1)，循环往复。所以把耗时多的那次操作均摊到接下来的 n-1 次耗时少的操作上，均摊下来，这一组连续的操作的均摊时间复杂度就是 O(1)，可以理解为 (n + n - 1)/n。

均摊时间复杂度就是一种特殊的平均时间复杂度，能够应用均摊时间复杂度分析的场合，一般均摊时间复杂度就等于最好情况时间复杂度。