KMP求最小循环节讲解

Posted 2021-01-10 kissheart

KMP最小循环节、循环周期：

定理：假设S的长度为len，则S存在最小循环节，循环节的长度L为len-next[len]，子串为S[0…len-next[len]-1]。

（1）如果len可以被len - next[len]整除，则表明字符串S可以完全由循环节循环组成，循环周期T=len/L。

（2）如果不能，说明还需要再添加几个字母才能补全。需要补的个数是循环个数L-len%L=L-(len-L)%L=L-next[len]%L，L=len-next[len]。

 

 

理解该定理，首先要理解next数组的含义：next[i]表示前面长度为i的子串中，前缀和后缀相等的最大长度。

如：abcdabc

index	0	1	2	3	4	5	6	7
char	a	b	c	d	a	b	C
next	-1	0	0	0	0	1	2	3

 

如对于a,ab,abc,abcd，很明显，前缀和后缀相同的长度为0

  对于长度为5的子串abcda，前缀的a和后缀的a相同，长度为1

  对于长度为6的子串abcdab，前缀的ab和后缀的ab相同，长度为2

接下来举几个例子来说明最小循环节和循环周期：

为方便说明，先设字符串的长度为len，循环子串的长度为L

1.

s0s1s2s3s4s5 ，next[6]=3

即s0s1s2=s3s4s5

很明显可知：循环子串为s0s1s2，L=len-next[6]=3，且能被len整除。

 

2.

s0s1s2s3s4s5s6s7 ，next[8]=6

此时len-next[8]=2 ，即L=2

由s0s1s2s3s4s5=s2s3s4s5s6s7

可知s0s1=s2s3,s2s3=s4s5,s4s5=s6s7

显然s0s1为循环子串

 

3.

s0s1s2s3s4s5s6 ，next[7]=4

此时len-next[7]=3，即L=3

由s0s1s2s3=s3s4s5s6

可知s0s1=s3s4,s2s3=s5s6

从而可知s0s1s2=s3s4s5，s0=s3=s6

即如果再添加3-4%3=2个字母（s1s2），那么得到的字符串就可以由s0s1s2循环3次组成

 

这个定理可以这么理解：

http://www.cnblogs.com/oyking/p/3536817.html

对于一个字符串，如abcd abcd abcd，由长度为4的字符串abcd重复3次得到，那么必然有原字符串的前八位等于后八位。

也就是说，对于某个字符串S，长度为len，由长度为L的字符串s重复R次得到，当R≥2时必然有S[0..len-L-1]=S[L..len-1]，字符串下标从0开始

那么对于KMP算法来说，就有next[len]=len-L。此时L肯定已经是最小的了（因为next的值是前缀和后缀相等的最大长度，即len-L是最大的，那么在len已经确定的情况下，L是最小的）。

 

如果一定仔细证明的话，请看下面：

（参考来自：http://www.cnblogs.com/wuyiqi/archive/2012/01/06/2314078.html，有所改动）

 k    m   x     j     i

由上，next【i】=j，两段红色的字符串相等（两个字符串完全相等），s[k....j]==s[m....i]

设s[x...j]=s[j....i](xj=ji)

则可得，以下简写字符串表达方式

kj=kx+xj;

mi=mj+ji;

因为xj=ji，所以kx=mj，如下图所示

 k   m     a    x    j     i

设s[a…x]=s[x..j](ax=xj)

又由xj=ji，可知ax=xj=ji

即s[a…i]是由s[a…x]循环3次得来的。

而且看到没，此时又重复上述的模型，s[k…x]=s[m…j]，可以一直递推下去

最后可以就可以递推出文章开头所说的定理了。

 

最后再举两个相关例子

abdabdab  len:8 next[8]:5

最小循环节长度：3（即abd）   需要补的个数是1  d

ababa  len:5 next[5]：3

最小循环节长度：2（即ab）    需要补的个数是1  b

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