Tarjan求LCA

Posted 2021-01-10 captain1

Tarjan求LCA是一种离线的LCA求法，它需要先知道所有的询问，之后通过dfs和并查集维护以求出LCA，这是一种线性的做法，如果有n个节点m次询问，那么复杂度为O（n+m）。

具体做法怎么做呢？其实就是dfs+并查集。

我们首先用链式前向星去存这棵树，存所有的询问关系（为什么一会再说），注意询问关系存成无向图。每个节点的父节点一开始设置为自己。然后我们从根结点开始dfs，优先去dfs自己的儿子，当dfs到一个没有儿子的节点的时候，我们开始遍历与这个节点有关的所有询问。（到这里就知道为什么用链式前向星了，因为这样才能线性跑完，否则的话就是m^2的复杂度）如果那个节点已经被访问过，那么这两个点的LCA就是那个节点沿着并查集向上找的父亲。如果没有访问过直接无视即可。

然后在节点向上返回的时候，把每个节点的父亲设置为自己上面的一个点，并且把这个点设置为已访问即可。

然后像所有离线一样……我们是需要记录每次求lca的编号的，最后输出按顺序输出即可。

Tarjan算法之所以可以做到线性处理，原因是在于他利用了只需要m次询问的关键。（当然不只是这些，人家倍增还多个log呢），综合来讲tarjan的复杂度是最优秀的，但是如果在m远远大于n的情况下，还是用RMQ求LCA是最好的。而倍增的话似乎更适用于预处理比较麻烦的时候。

至于树剖的话……一般树剖求LCA其实是顺手的事……好像很少有为了求LCA写树剖的吧……

看一下Tarjan求LCA的代码。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cstring>
#define rep(i,a,n) for(int i = a;i <= n;i++)
#define per(i,n,a) for(int i = n;i >= a;i--)
#define enter putchar(‘
‘)
#define pr pair<int,int>
#define mp make_pair
#define fi first
#define sc second
using namespace std;
typedef long long ll;
const int M = 500005;
const int N = 10000005;
 
int read()
{
    int ans = 0,op = 1;
    char ch = getchar();
    while(ch < ‘0‘ || ch > ‘9‘)
    {
    if(ch == ‘-‘) op = -1;
    ch = getchar();
    }
    while(ch >=‘0‘ && ch <= ‘9‘)
    {
    ans *= 10;
    ans += ch - ‘0‘;
    ch = getchar();
    }
    return ans * op;
}

struct edge
{
    int next,to,id;
}e[M<<2],q[M<<2];

int n,m,s,x,y,head[M],qhead[M],ecnt,qcnt,fa[M],lca[M];
bool vis[M];

int getfa(int x)
{
    return fa[x] == x ? x : fa[x] = getfa(fa[x]);
}

void add(int x,int y)
{
    e[++ecnt].to = y;
    e[ecnt].next = head[x];
    head[x] = ecnt;
}

void addq(int x,int y,int g)
{
    q[++qcnt].to = y;
    q[qcnt].next = qhead[x];
    q[qcnt].id = g;
    qhead[x] = qcnt;
}

void tarjan(int x,int f)
{
    for(int i = head[x];i;i = e[i].next)
    {
    if(e[i].to == f  || vis[e[i].to]) continue;
    tarjan(e[i].to,x);
    fa[e[i].to] = x;
    }
    for(int i = qhead[x];i;i = q[i].next)
    {
    if(!vis[q[i].to]) continue;
    lca[q[i].id] = getfa(q[i].to);
    }
    vis[x] = 1;
}

int main()
{
    n = read(),m = read(),s = read();
    rep(i,1,n-1) x = read(),y = read(),add(x,y),add(y,x),fa[i] = i;
    fa[n] = n;
    rep(i,1,m) x = read(),y = read(),addq(x,y,i),addq(y,x,i);
    tarjan(s,s);
    rep(i,1,n) printf("%d
",lca[i]);
    return 0;
}