tags: 
[思维发散拓展训练辅导]
前言
多题一解是思维训练的好素材。
直曲线相切
【变式】直线\\(y=x\\)上的点为\\(P(x，y)\\)，函数\\(y=lnx\\)上的点是\\(Q(m，n)\\)，求\\(\\sqrt{(x-m)^2+(y-n)^2}\\)的最小值。
分析：采用平行线法，
设和直线\\(y=x\\)平行且和函数\\(y=lnx\\)相切的直线为\\(y=x+m\\)，
切点为\\(P_0(x_0，y_0)\\)，则有
\\(\\begin{cases} y_0=x_{0}+ m \\\\ y_0=lnx_0 \\\\ f\'(x_0)=\\cfrac{1}{x_0}=1\\end{cases}\\)；
从而解得\\(x_0=1，y_0=0，m=-1\\)
所以所求的点点距的最小值，就转化为切点\\(P_0(1,0)\\)到直线\\(x-y=0\\)的点线距，
\\(d=\\cfrac{|1-0|}{\\sqrt{1^2+1^2}}=\\cfrac{\\sqrt{2}}{2}\\)。
或者两条直线\\(y=x，y=x-1\\)的线线距\\(d=\\cfrac{|1-0|}{\\sqrt{1^2+1^2}}=\\cfrac{\\sqrt{2}}{2}\\)。课件地址
能成立问题
【法1】：分离参数，得到\\(a≥\\cfrac{2}{x}－x\\)在区间\\([1,5]\\)上能成立，
转化为求新函数\\(\\cfrac{2}{x}－x\\)在\\([1,5]\\)上的最小值。
令\\(g(x)=\\cfrac{2}{x}－x，g(x)=\\cfrac{2}{x}－x\\)在区间 \\([1,5]\\)上单调递减，
所以\\(g(x)_{min}=g(5)=-\\cfrac{23}{5}\\)，所以\\(a≥-\\cfrac{23}{5}\\)，
即\\(a\\)的取值范围是\\([-\\cfrac{23}{5}，+\\infty)\\)
【法2】：转化为求\\(x\\in [1，5]\\)上的\\(f(x)_{max}\\ge 0\\)，
对称轴是\\(x=-a\\)，针对\\(x=-a\\)和给定区间的位置关系分类讨论即可，较繁琐，
①当\\(-a\\leq 1\\)时，即\\(a\\ge -1\\)时，\\(f(x)\\)在区间\\([1，5]\\)单调递增，
故\\(f(x)_{max}=f(5)=5a+23\\ge 0\\)，即\\(a\\ge -\\cfrac{23}{5}\\)，
又由于\\(a\\ge -1\\)，求交集得到\\(a\\ge -1\\)；
②当\\(1<-a<5\\)时，即\\(-5<a<-1\\)时，\\(f(x)\\)在区间\\([1，5]\\)有减有增无单调性，
\\(f(x)_{max}=max{f(1)，f(5)}\\)，
\\(f(1)=a-1\\)，\\(f(5)=5a+23\\)，
\\(f(5)-f(1)=4a+24\\in [4，20]\\)，即\\(f(5)>f(1)\\)，
故\\(f(x)_{max}=f(5)=5a+23\\ge 0\\)，即\\(a\\ge -\\cfrac{23}{5}\\)，
求交集得到，\\(-\\cfrac{23}{5}\\leq a<-1\\)；
③当\\(-a\\ge 5\\)时，即\\(a\\leq -5\\)时，\\(f(x)\\)在区间\\([1，5]\\)单调递减，
故\\(f(x)_{max}=f(1)=a-1\\ge 0\\)，即\\(a\\ge 1\\)，
求交集得到\\(a\\in \\varnothing\\)；
综上所述，得到\\(a\\in [-\\cfrac{23}{5}，+\\infty)\\)。
即\\(a\\)的取值范围是\\([-\\cfrac{23}{5}，+\\infty)\\)
【法3】：转化为不等式\\(f(x)=x^2 +ax-2≥0\\)在区间 \\([1,5]\\)上有解，
解法基本同于法2，
①当\\(-a\\leq 1\\)时，必须\\(f(5)\\ge 0\\)，解得\\(a\\ge -1\\)；
②当\\(1<-a<5\\)时，必须\\(f(5)\\ge 0\\)，解得\\(-\\cfrac{23}{5}\\leq a<-1\\)；
③当\\(-a\\ge 5\\)时，必须\\(f(1)\\ge 0\\)，解得\\(a\\in \\varnothing\\)；
综上所述，得到\\(a\\in [-\\cfrac{23}{5}，+\\infty)\\)。
幂函数
分析：由于上述不等式依托的函数是\\(y=x^{\\frac{1}{2}}\\)，在定义域\\([0，+\\infty)\\)上单调递增，
故有\\(\\left\\{\\begin{array}{l}{2m+1\\ge 0①}\\\\{m^2+m-1\\ge 0②}\\\\{2m+1>m^2+m-1③}\\end{array}\\right.\\)
解得\\(\\left\\{\\begin{array}{l}{m\\ge -\\cfrac{1}{2}①}\\\\{m\\ge\\cfrac{\\sqrt{5}-1}{2}或m\\leq \\cfrac{-\\sqrt{5}-1}{2}②}\\\\{-1<m<2③}\\end{array}\\right.\\)
求交集得到，\\(\\cfrac{\\sqrt{5}-1}{2}\\leq m<2\\)。故\\(m\\in [\\cfrac{\\sqrt{5}-1}{2}，2)\\)。
【变式1】【无奇偶性】若\\((2m+1)^{\\frac{1}{4}}>(m^2+m-1)^{\\frac{1}{4}}\\)，求实数\\(m\\)的取值范围。
分析：求解过程同上，故\\(m\\in [\\cfrac{\\sqrt{5}-1}{2}，2)\\)。
【变式2】【无奇偶性】若\\((2m+1)^{\\frac{1}{2n}}>(m^2+m-1)^{\\frac{1}{2n}}(n\\in N^{*})\\)，求实数\\(m\\)的取值范围。
分析：求解过程同上，故\\(m\\in [\\cfrac{\\sqrt{5}-1}{2}，2)\\)。
【变式3】【抽象函数】若函数\\(f(x)\\)的定义域为\\([0，+\\infty)\\)，且满足对任意的\\(x_1，x_2\\in [0，+\\infty)\\)，都有\\(\\cfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>0(x_1\\neq x_2)\\)，且满足\\(f(2m+1)>f(m^2+m-1)\\)，求实数\\(m\\)的取值范围。
分析：求解过程同上，故\\(m\\in [\\cfrac{\\sqrt{5}-1}{2}，2)\\)。
恒成立问题
【变式】\\(\\forall x\\in [1，5]\\)，都能使得函数\\(f(x)=x^2 +ax-2\\ge 0\\)成立，求参数\\(a\\)的取值范围。
【常规】法1：二次函数法，由于\\(\\Delta=a^2+8>0\\)，故不需要考虑\\(\\Delta<0\\)的情形，
只需要考虑对称轴\\(x=-\\cfrac{a}{2}\\)和给定区间\\([1，5]\\)的相对位置关系
当\\(-\\cfrac{a}{2}\\leq 1\\)时，即\\(a\\geqslant -2\\)时，函数\\(f(x)\\)在区间\\([1,5]\\)单调递增，
所以\\(f(x)_{min}=f(1)=1+a-2\\geqslant 0\\),解得\\(a\\geqslant 1\\)，又因为\\(a\\geqslant -2\\)，所以得到\\(a\\geqslant 1\\)。
当\\(-\\cfrac{a}{2}\\ge 5\\)时，即\\(a\\leqslant -10\\) 时，函数\\(f(x)\\)在区间 \\([1,5]\\)单调递减，
所以\\(f(x)_{min}=f(5)=25+5a-2\\ge 0\\),解得\\(a\\ge -\\cfrac{23}{5}\\)，
又因为\\(a\\leq -10\\)，所以得到\\(a\\in\\varnothing\\)。
当\\(1<-\\cfrac{a}{2}<5\\)，即\\(-10<a<-2\\)时，\\(f(x)min=f(-\\cfrac{a}{2})=\\cfrac{a^2}{4}-\\cfrac{a^2}{2}-2≥0\\)，
得到\\(a\\in\\varnothing\\)。（这种情形可以省略）
综上可得\\(a\\geqslant 1。\\)即\\(a\\)的取值范围是\\([1，+\\infty)\\)
【通法】法2：【恒成立+分离参数法】两边同时除以参数\\(a\\)的系数\\(x\\)(由于\\(x\\in [1，5]\\)，不等号方向不变)，得到
\\(a\\geqslant \\cfrac{2}{x}－x\\)在区间 \\([1，5]\\)上恒成立, 转化为求新函数“\\(\\cfrac{2}{x}－x\\)”在\\([1，5]\\)上的最大值。
这时我们一般是定义新函数，令\\(g(x)=\\cfrac{2}{x}－x\\)，
则利用函数单调性的结论，可以看到\\(g(x)=\\cfrac{2}{x}－x\\)在区间 \\([1，5]\\)上单调递减，
所以\\(g(x)_{max}=g(1)=1\\)，所以\\(a\\geqslant 1\\)，即\\(a\\)的取值范围是\\([1，+\\infty)\\)
集合关系
【变式1】给定命题\\(p:m+1\\leq x\\leq 1-2m\\)，命题\\(q:-2\\leq x\\leq 7\\)，已知\\(q\\)是\\(p\\)的充分不必要条件，求实数\\(m\\)的取值范围。
【变式2】给定命题\\(p:m+1\\leq x\\leq 1-2m\\)，命题\\(q:-2\\leq x\\leq 7\\)，已知\\(p\\)是\\(q\\)的必要不充分条件，求实数\\(m\\)的取值范围。
【变式3】给定命题\\(p:m+1\\leq x\\leq 1-2m\\)，命题\\(q:-2\\leq x\\leq 7\\)，已知\\(\\neg p\\)是\\(\\neg q\\)的充分不必要条件，求实数\\(m\\)的取值范围。
分析：自行画出草图可知，先列出条件\\(\\begin{cases}&m+1\\leq-2\\\\&1-2m \\ge 7\\end{cases}\\)，解得\\(m\\leq -3\\)，
接下来验证\\(m=-3\\)是否满足题意。
当\\(m=-3\\)时，\\(A=[-2，7]\\)，\\(B=[m+1，1-2m]=[-2，7]\\)，此时\\(A=B\\)，不满足题意，舍去，
故实数\\(m\\)的取值范围为\\(\\{m\\mid m<-3\\}\\)。
解后反思：本题目如上处理，则可以避免分类讨论；
函数性质综合
分析：先求定义域，由于\\(\\sqrt{x^2+1}\\ge \\pm \\sqrt{x^2}\\)，故定义域为\\((-\\infty，+\\infty)\\)，
又由于\\(f(-x)=ln(\\sqrt{x^2+1}-x)\\)，故\\(f(x)+f(-x)=ln1=0\\)，故函数为奇函数。
当\\(x\\in [0，+\\infty)\\)时，\\(x^2\\nearrow\\)，\\(1+x^2\\nearrow\\)，\\(\\sqrt{1+x^2}\\nearrow\\)，\\(x+\\sqrt{1+x^2}\\nearrow\\)，
\\(y=ln(x+\\sqrt{1+x^2})\\nearrow\\)，则由奇函数可知在\\((-\\infty，+\\infty)\\)上，\\(f(x)\\nearrow\\)，
故由定义域为\\(R\\)，奇函数，单调递增，则由\\(f(x-1)+f(x)>0\\)，
得到\\(f(x-1)>-f(x)=f(-x)\\)，即\\(x-1>-x\\)，解得\\(x>\\cfrac{1}{2}\\)，即\\(x\\in (\\cfrac{1}{2}，+\\infty)\\)。
【变式1】已知奇函数\\(f(x)\\)定义域为\\(R\\)，且单调递增，若\\(f(x-1)+f(x)>0\\)，求\\(x\\)的取值范围；
【变式2】已知定义在\\(R\\)上的函数\\(f(x)\\)满足\\(f(-x)+f(x)=0\\)，且在\\(x\\in [0，+\\infty)\\)上时，恒有\\(f\'(x)\\geqslant 0\\)成立，若\\(f(x-1)+f(x)>0\\)，求\\(x\\)的取值范围；
【变式3】已知定义在\\(R\\)上的函数\\(f(x)\\)图像关于原点对称，且在\\(x_1,x_2\\in [0，+\\infty)\\)上时，有\\(\\cfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}>0(x_1\\neq x_2)\\)成立，若\\(f(x-1)+f(x)>0\\)，求\\(x\\)的取值范围；
【变式1】已知不等式\\(x^2 +ax-2\\ge 0\\)在区间 \\([1，5]\\)上有解，求参数\\(a\\)的取值范围。
【变式2】已知不等式\\(x^2 +ax-2\\ge 0\\)在区间 \\([1，5]\\)上解集不是空集，求参数\\(a\\)的取值范围。
【变式3】已知不等式\\(x^2 +ax-2\\ge 0\\)在区间 \\([1，5]\\)上至少有一个解，求参数\\(a\\)的取值范围。
【变式4】已知命题\\(p\\)：对任意\\(x\\in [1，5]\\)，不等式\\(x^2+ax-2< 0\\)在区间 \\([1，5]\\)无实数解，是假命题，求参数\\(a\\)的取值范围。 ↩︎